Limites

Demostración de  sin(x) : Método Algebraico
Dando: lim(d->0) sin(d)/d = 1.
Resulva:
 sin(x) = lim(d->0) ( sin(x+d) - sin(x) ) / d
= lim ( sin(x)cos(d) + cos(x)sin(d) - sin(x) ) / d
= lim (sin(x)cos(d) - sin(x) )/d + lim cos(x)sin(d)/d
= sin(x) lim ( cos(d) - 1 )/d   +   cos(x) lim sin(d)/d
= sin(x) lim ( (cos(d)-1)(cos(d)+1) ) / ( d(cos(d)+1) )   +   cos(x) lim sin(d)/d
= sin(x)lim ( cos2(d)-1 ) / ( d(cos(d)+1 )   +   cos(x) lim sin(d)/d
= sin(x) lim -sin2(d) / ( d(cos(d) + 1)   +   cos(x) lim sin(d)/d
= sin(x) lim (-sin(d)) * lim sin(d)/d * lim 1/(cos(d)+1)   +   cos(x) limsin(d)/d
= sin(x) * 0 * 1 * 1/2 + cos(x) * 1 = cos(x)       Q.E.D.

Demostración de  cos(x) : desde la derivada de seno
Éste puede ser derivado como  sin(x) fue derivado o mas fácilmente desde elresultado de  sin(x)
Dando:  sin(x) = cos(x); La regla de la cadena.
Resuelva:
cos(x) = sin(x + PI/4)
 cos(x) =  sin(x + PI/4)
=  sin(u) *  (x + PI/4) (Fije u = x + PI/4)
= cos(u) * 1 = cos(x +PI/4) = -sin(x)       Q.E.D.

Demostración de  tan(x) : desde las derivadas de senos y cosenos
Dando:  sin(x) = cos(x);  cos(x) = -sin(x); La Regla de Cocientes.
Resuelva:
tan(x) = sin(x) /cos(x)
 tan(x) =  sin(x)/cos(x)
= ( cos(x)  sin(x) - sin(x)  cos(x) ) / cos2(x)
= ( cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) ) / cos2(x)
= 1 + tan2(x) = sec2(x)       Q.E.D.

Demostaciónde  csc(x),  sec(x),  cot(x) : desde las derivadas de sus funciones recíprocas
Dando:  sin(x) = cos(x);  cos(x) = -sin(x);  tan(x) = sec2(x); La Regla de Cocientes.
Resuelva:
 csc(x) =  1/sin(x) = ( sin(x)  (1) - 1  sin(x) ) /sin2(x) = -cos(x) / sin2(x) = -csc(x)cot(x)
 sec(x) =  1/cos(x) = ( cos(x)  (1) - 1  cos(x) ) / cos2(x) = sin(x) / cos2(x) = sec(x)tan(x)
 cot(x) =  1/tan(x) = ( tan(x)  (1) - 1  tan(x) ) / tan2(x)= -sec2(x) / tan2(x) = -csc2(x)
Ahora derivemos la función COSECANTE, tomemos el concepto de límite (Si!!! otra vez...)para dicha función:

Equivalente a,

Expandiendo el ángulo doble,...