Limites

La definición formal de límite
En esta sección trataremos de ilustrar gráficamente elconcepto de límite y su definición formal. Analiza la siguienteanimación y observa que sucede con los valores
f(x)
cuando
 x 
se acerca a un número
a
.
 
Observa en la animación anterior que cuanto más cerca está
 x
del número
a=1
, los valores de la función están más cerca del número
 L=2
. Demaneraequivalente, para que los valores de la función estén cada vez más cerca delnúmero
 L=2
, es necesario que los valores de
 x
estén
suficientemente
cercadel número
a=1
.
 
Definición formal de Límite:Lim
f(x)=L, xa
si para todo
>0
, existe un
>0
tal que
|f(x)-L|<
cuando
|x-a|<
.
 Límites que no existen

Definición formal de límite: la función f(x) tiene comolímite L en el punto de acumulación x=A cuando el valor absoluto (el módulo) de la diferencia entre los valores f(x) y L se puede hacer tan pequeño como se quiera con tal de considerar valores de x suficientemente próximos a A.
Lim f(x)=L
x— A
... si para todo E 0, existe un § 0 tal que /f(x)-L/ E cuando /x-A/ §
Quizás te sirva verlo mejor en un ejemplo: hacemos la tabla de valores de lafunción f(x)= x^2+1.
* x ................f(x)= x^2+1
* 2,2..................5,84
* 2,1................ .5,41
* 2,01................5,04
* 2,001..............5,004
* 1,9..................4,61
* 1,99................4,96
*1,999..............4,996
Los valores de x que están en verde son aquellos que se aproximan a 2 por la derecha, por valores mayores que 2. Los que están en rosa son los valores de x que se aproximan a 2 por la izquierda, por valores menores que 2.
Como podés ver en el gráfico, a medida que los valores de x se aproximan cada vez más a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores quedetermina la función se aproximan cada vez más al númerp 5. Esto se expresa diciendo que la función f(x)= x^2+1 tiene límite 5 en el punto x=2 o cuando x tiende a 2, que se indica simbólicamente:
Lim f(x^2+1)=5
x— 2
Eso se lee así: límite de (x^2+1) para x tendiendo a 2 es igual a 5. También se dice que dicha función tiende a 5 cuando x tiende a 2, que se indica así: (x^2+1)— 5 cuando x— 2
 Teoremas sobre límites
Teorema 1: límite de una función constante.
Sea f(x)=k(constante), entonces:
Lim f(x)=Limk=k
x— A.....x— A
Teorema 2: límite de f(x)=x cuando x— A
Sea f(x)=x, entonces
Lim f(x)=Limx=A
x— A.....x— A
Teorema 3: límite de una función multiplicada por una constante
Sea k una constante y f(x) una función dada, entonces:
Lim kf(x)=kLimf(x)=A
x— A.....x— A
Teorema4: límite de una suma, resta, producto y cociente de funciones
Supongamos que.. Lim f(x)=L1 y Lim g(x)=L2
x— A.... ........x— A
Entonces:
Lim (f(x)+g(x))=L1 +L2
x— A...
Lim (f(x)-g(x))=L1-L2
x— A.
........ .Lim (f(x)*g(x))=L1*L2
..x— A.
..........Lim (f(x)÷g(x))=L1÷L2
...x— A
.
Teorema 5: límite de una potencia
Sea n un número entero positivo, entonces:
Lim x^n=a^n
x— A...
 
Teorema6: límite de un polinomio
Sea f(x) una función polinominal, entonces:
Lim f(x)=f(A)
x— A...
Teorema 7: límite de una función racional
Sea f(x)= p(x)÷q(x) un cociente de polinomios, entonces:
Lim f(x)=p(A)÷q(A) (si q(A) no es cero)
x— A...
Teorema 8: límite de una función que contiene un radical
Sea A 0 y n es cualquier entero positivo, o bien, si A 0 y n es un entero positivo impar,entonces:
Lim x^1÷n=A^1÷n
x— A...
Teorema 9: límite de una función compuesta
Supongamos que.. Lim g(x)=L y Lim f(x)= f(L)
x— A.... ......x— L
Entonces:
Lim f (g(x))= f(L)
Límites laterales:
Cuando las condiciones que exigen la existencia de límite de una función en un punto a, se verifican solamente para valores de x menores que a, se dice que existe límite por la izquierda de a.

Si las...