Limites

Cap´ıtulo 4

L´ımites. Definici´
on de derivada.
4.1.

L´ımites e indeterminaciones

Hemos visto en el cap´ıtulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que
enfrentarnos a expresiones como esta:
f (x) − f (x0 )
x − x0
y a la pregunta de√qu´e sucede cuando x se acerca m´as y m´as a x0 . Y hemos visto un ejemplo, en 2.2.1
para el c´alculo de 2, en el que esapregunta tiene una respuesta evidente.
Es importante entender que la respuesta no es trivial. En principio, esperamos que, al menos en los
casos normales, f (x) se parezca mucho a f (x0 ) cuando x se acerca a x0 (volveremos sobre este asunto de
los casos normales cuando hablemos de continuidad). Y en tales casos, eso significa que el numerador y el
denominador ambos se parecen mucho a 0. Esdecir, que estaremos ante una situaci´on que en matem´aticas
se representa con el s´ımbolo 0/0. Por el momento, usamos este s´ımbolo s´olo para indicar que se trata de
una situaci´on que exige un an´alisis m´as detallado. Y eso significa que el problema de la tangente puede
tener soluci´on, pero esa soluci´on exige bastante reflexi´on.
Se trata por tanto de lo siguiente. Tenemos una expresi´onque depende de x, llam´emosla h(x), y
queremos saber qu´e ocurre con esta expresi´on cuando x se acerca a x0 . Ese problema se representa con
el s´ımbolo
l´ım h(x)
x→x0

que leemos diciendo el l´ımite de h(x) cuando x tiende a x0 .
En el problema de la tangente tenemos
h(x) =

f (x) − f (x0 )
x − x0

de manera que resolver ese problema consiste en dar sentido a la pregunta
l´ımx→x0

f (x) − f (x0 )
.
x − x0

Se trata de explicar con rigor lo que significa que un cierto n´
umero sea la respuesta. Y adem´as, naturalmente, tendremos que ocuparnos del problema de c´omo calcular ese n´
umero.
Ejemplo
4.1.1. Es decir, que queremos escribir la conclusi´
on del ejemplo 3.2.1 (p´
ag. 25) sobre el c´
alculo
√
de 2, diciendo que si f (x) = x2 − 2, entonces
l´ım

x→x0(x2 − 2) − (x20 − 2)
f (x) − f (x0 )
= l´ım
= 2x0
x→x0
x − x0
x − x0

Pero, para que el esfuerzo te´orico que vamos a hacer tenga una recompensa generosa, no queremos
limitarnos al problema de la tangente. Porque hay otras situaciones en matem´aticas en las que surgen
problemas similares.
27

Ejemplo 4.1.2. Supongamos que queremos saber lo que ocurre con la expresi´
on
h(x) =(1 + x)1/x
cuando x es un n´
umero muy cercano a x0 = 0. Es decir, nos preguntamos por el valor de
l´ım (1 + x)1/x

x→0

En tal caso, tenemos un n´
umero (1 + x) que se parece mucho a 1. En principio podemos pensar que
cualquier potencia de un n´
umero cercano a 1 estar´
a a su vez cerca de 1. Pero es que lo elevamos a una
cantidad muy grande (positiva o negativa). Y si bien es ciertoque, por ejemplo,
100

(1,00001)
no es menos cierto que

≈ 1,0010005

1000000

(1,00001)

≈ 22025,364

De manera que el comportamiento del resultado de una operaci´
on como
(algo parecido a 1)algo muy grande
parece depender de una manera sutil de cu´
al sea la relaci´
on de tama˜
no entre la base y el exponente.
Para describir este tipo de situaciones hablaremos de un problema1∞ . M´
as adelante veremos cu´
al es la
respuesta a este problema concreto, que es muy importante.
Los problemas de la forma 00 , 1∞ y otros similares se denominan indeterminaciones. El impulso inicial
para definir los l´ımites viene dado por nuestro deseo de conocer la respuesta a preguntas como estas.
Naturalmente, tambi´en hay situaciones mucho m´as sencillas. No necesitamos una teor´ıamuy elaborada
para saber que
l´ım x2 = 4
x→2

aunque por supuesto, la teor´ıa que vamos a desarrollar incluir´a estos casos triviales.

4.2.

Distancias y valores absolutos

Para poder construir la idea de l´ımite que necesitamos, un ingrediente clave es la noci´on de distancia.
Para poder decir con rigor que x est´a cerca de x0 , debemos ser capaces de expresar formalmente, en el...