LIMITES

LIMITES

1. CONCEPTO GEOMETRICO DE LÍMITES LATERALES. Prof. JULIO SOTO SANCHEZ

LIMITES LATERALES DE LA FUNCION .
Supongamos que la grafica de una función está dada por la curva C. Ver fig 1 ó fig.2




INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA NOTACION: (Lectura: x tiende a: x=a, por la izquierda).
Esta notación matemática, representa el conjunto de valores: que lavariable x toma sucesivamente de izquierda a derecha, por la izquierda de x= a (sobre el eje x) de modo que: sin llegar a tocar el punto x=a. Ver: fig.3 ó fig. 4







1.1 LIMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA NOTACION: (Lectura: El límite de la función f(x) cuando x tiende a x=a, por la izquierda, ó; simplemente el límite por laizquierda)
Esta notación matemática, representa el valor final b al cual tiende la variable “y” después de haber tomado el conjunto de valores sucesivos: b que corresponden respectivamente a cada uno de los valores que toma la variable “x” cuando . Es decir: (Ver fig.5 ó fig.6)



Comentarios:
1. Observe que los valores que toma la variable x siempre van en aumento, encambio los valores que puede tomar la variable y pueden ir en aumento (ver fig.5) ó en disminución, o ser constante (Ver fig. 6a)
2. El valor final al cual se aproxima la variable y, es: y=b. A éste valor que finalmente tomaría la variable y, es, el que conocemos con el nombre de LIMITE LATERAL DE LA FUNCION: y = f(x), POR LA IZQUIERDA DE x=a y lo denotamos como
3. Observe también que no nospreocupa que la función esté definida o no, en el punto x=a pues,: x se aproxima a x=a, sin llegar a tocar el punto x=a por lo tanto y se aproxima al valor y= b sin llegarlo a tocar.


1.2 LIMITE LATERAL POR LA DERECHA.

TAREA Nº 01.
Utilizando los gráficos de las figuras 1 y 2, interprete y halle geométricamente el significado de la proposición .
TAREA Nº 02.
Utilizando el grafico de la figura 7Responda:
A) ¿Está definida la función f(x), en x=5?.
B) Halle geométricamente:
C) Halle geométricamente:
D) ¿Los límites laterales serían iguales si f(x) no estuviese definida en x=5? . ¿Qué concluye?


TAREA Nº 3
Dado el siguiente grafico, halle geométricamente los límites laterales que se pide en cada punto.


a) En el punto
b) En el punto
c) En el punto
TAREA Nº 4.
Construya el gráficode la función y= tgx y halle los limites laterales en los puntos considerados en la TAREA Nº3

TAREA Nº 5
En la gráfica de la función que se da en la fig. 9, haciendo uso de la interpretación geométrica de límites laterales, halle los límites laterales de la función en cada punto que se solicita.

a) Halle los límites laterales en x=1, x=2, x=3, x=3.5, x=6
b) Decir en cuales de lospuntos dados en el inciso a), la función está definida.
c) Para hallar los límites laterales en x = a. ¿Se necesita que la función esté definida en x=a?

2. DEFINICION DE LÍMITE.
NOTACION:
Acabamos de encontrar geométricamente los límites laterales de una función en un punto cualquiera: x=a, , y hemos encontrado que hay dos posibles resultados:
Primer resultado: Los límites laterales en x=a,son diferentes.
Segundo resultado: Los límites laterales en x=a, son iguales y finitos. Éste es el caso que nos interesa. Por ello se propone la siguiente definición.

2.1 DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION HACIENDO USO DEL CONCEPTO GEOMETRICO DE LIMITES LATERALES

Diremos que el límite de la función y=f(x), cuando x tiende a x=a, existe y es igual a L, sí y solo sí, los límites lateralesson iguales y finitos. Dicho de otro modo:

En cualquier otro caso diremos que el límite no existe en el punto x=a.
Ejemplo1.
En el gráfico de la Fig. 10, halle geométricamente los limites laterales, y luego por definición halle el limite L.
SOL.

a) Rpta. Puesto que .
b) Rpta.
b) Rpta.

Ejemplo2.
Halle geométricamente si existe: en...