Limites

LÍMITES

LECCIÓN 7

Índice: Cálculo de límites en un punto. Expresión indeterminada L/0.
Expresión indeterminada 0/0. Algunos límites de funciones irracionales. Otras técnicas básicas para el cálculo de límites. Problemas.

1.- Cálculo de límites en un punto
El cálculo de estos límites se reduce a aplicar sistemáticamente
las reglas enunciadas en el apartado 1 de la lección 5, así comola
tabla de los límites. Además se utilizan dos resultados ya vistos
(problemas 1 y 2 de la lección 4):
1º) El límite de la función f(x)=k en x0:
lím k=k
x →x 0

2º) El límite de la función f(x)=x en x0:
lím x=x0
x →x 0

Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x2-8
en 1:
1

2

3

lím f(x) = lím(3x2-8) = lím(3x2)-lím 8 = 3·lím x2-lím 8 =
x →1

x →1

x →1x →1

x →1

x →1

4

= 3·(lím x)2-lím 8 = 3·12-8
x →1

x →1

Como se ve, todos estos pasos se reducen a sustituir x por 1, lo
que se conoce con el nombre de dar el paso al límite. Eso es lo que
haremos de ahora en adelante:
5

lím f(x) = lím(3x2-8) = 3·12-8 = -5
x →1

x →1

A diferencia de lo que sucedía con los límites en el infinito, los
límites de las funcionespolinómicas en un punto están siempre determinados. Conviene, pues, que no confundas ambos tipos de límites.
Sacar aquí factor común la máxima potencia de x carece de sentido y
puede conducirnos a expresiones indeterminadas.
Veamos ahora cómo se resuelven algunas de las indeterminaciones
que pueden aparecer.

1

El límite de una resta es la resta de los límites (primera regla de las operacionescon
límites).
2 El límite del producto de un número por una función es el producto del número por el
límite de la función (segunda regla de las operaciones con límites).
3 El límite de un producto (x2=x·x) es el producto de los límites (tercera regla de las operaciones con límites).
4 Por los resultados mencionados más arriba (los problemas 1 y 2 de la lección 4).
5 Damos el paso al límite.-1-

2.- Expresión indeterminada L≠0/0
Esta indeterminación solo se refiere al signo, ya que el límite,
si existe, es +∞ o -∞.
Por ejemplo:
14
2x
lím (x-2)2 = 0
x →2

Para eliminarla, se estudia el signo del 0. El resultado final depende de los signos de numerador y denominador:
243
2x
lím (x-2)2 = 0+ = +∞
x →2

Si al estudiar el signo del cero observamos que depende de pordónde nos acerquemos al punto, si por la izquierda o por la derecha,
calcularemos los límites laterales:
2x 4 4
lím x-2 = 0
x →2
Por tanto:
2x 5 4 6
lím x-2 = 0- = -∞
x →2

2x 7 4 3
lím x-2 = 0+ = +∞
x →2

x2

Esto significa que no existe el límite de esta función en 2.
Otro ejemplo:
x

x

1

9
x 1-x 8
x 1-x 1  1 0lím x-1
= lím x-1
= 0+
= (+∞)-∞ = 0



x →1
x →1 

x>1

3.- Expresión indeterminada 0/0
La indeterminación 0/0 se resuelve descomponiendo en factores el
numerador y el denominador, y simplificando a continuación:
x2-9 10
(x-3)(x+3)
x+3 1 6
= lím x = 3 = 2
lím x2-3x = lím
x(x-3)
x →3
x →3
x →3
1

Damos el paso al límite.
Como x≠2 (recuerda la definición de límite), (x-2)2 es siempre positivo.
3 Por la regla de lossignos: +/+=+.
4 El signo del cero depende de si x es mayor o menor que 2.
5 Como x2 (recuerda la definición de límite lateral derecho), x-2 es positivo.
8 Como se trata de una función potencial-exponencial, la base debe ser positiva. Por tanto,
solo tiene sentido el límite lateral derecho en 1, ya que su dominio es (-∞,0)∪(1,+∞).
9 Aplicamos la tabla de límites.
10 Si diésemos aquí el paso allímite, aparecería la indeterminación 0/0. Por tanto, descomponemos en factores y simplificamos.
2

-2-

L-7

Otro ejemplo:
lím
x →4

(x2-16)( x-3+1)
(x2-16)( x-3+1)
x2-16 1
= lím
= lím
=
x-3-1
x→4 ( x-3-1)( x-3+1)
x →4
x-3-1

= lím
x →4

(x-4)(x+4)( x-3+1)
2
= lím [(x+4)( x-3+1)] = 8·2 = 16
x-4
x →4

4.- Algunos límites de funciones irracionales
Como se ha...