linea del tiempo del calculo

Historia[editar]Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), con conceptos de tipo geométrico como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Ellossintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy llamamos «diferenciación» e «integración». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el siglo XIX, el cálculo tomó unestilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.

Aplicaciones importantes del cálculo diferencial[editar]Recta tangente a una función en un punto[editar]La recta tangente a una funciónf(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en elpunto de tangencia que consideremos.

Si conocemos la ecuación de la recta tangente Ta(x) a la función f(x) en el punto a podemos tomar Ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto a. Esto quiere decir que si tomamos un punto a + h y lo evaluamos tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia será despreciable frente a h en valor absolutosi h tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto a tanto más precisa será nuestra aproximación de f(x).

Para una función f(x) derivable localmente en el punto a, la recta tangente a f(x) por el punto a es:

Ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a).
Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones[editar]Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. Enparticular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio de la primera derivada y el criterio de la segundaderivada permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.

En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de lassegundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los engeivalores son 0 y 3).

Una vezque se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio mono dimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y por ello (suponiendo su continuidad) tendrá valores intermedios entre los valores en los puntos críticos de cada lado.

Aproximación local de...