linea del tiempo
Páginas: 29 (7248 palabras)
Publicado: 26 de octubre de 2013
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M
M
M
M
M
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Ma
tem
e
n un periodo de menos de dos años,
cuando Newton tenía menos de 25
años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física y
astronomía.
Ma
a
a
a
a
tttem
e
em
á
Mientras Newton estaba en casa (debido
a una peste que cerró la Universidad de
Cambridge) estableció las bases delcálculo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba
basado en su crucial visión de que la integración de una función era el
procedimiento inverso de su derivación.
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Ma
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E
Matemá
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HISTÓRICA
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CAPÍTULO
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áticas
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M
Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo
sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacionados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos
y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton
fue escritoen 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736.
Sir Isaac Newton
(1643-1727)
4
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Definición
Sea f (x) una función, se define a su derivada f (x), como:
f (x)
lím
x
f (x
x)
x
0
f (x)
Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por:
y , f(x),
dy
o Dx y
dx
Interpretación geométrica
El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Donde:
x: incremento en x
y: incremento en y
y = f (x)
Y
L
Q (x + Δ x, f(x + Δ x))
f (x + Δ x)
f(x + Δ x) – f(x)
Lt
f (x)
P(x, f(x))
x + Δx
x
X
Δx
En la gráfica se observa que la pendiente de la rectaL es:
y
x
mt
f (x
x)
x
f (x)
Si x tiende a cero, la recta L coincide con Lt , entonces la pendiente de Lt será el límite de mt .
lím mt
x
y
x
lím
0
x
0
lím
x
f (x
0
x)
x
Por definición, la derivada es:
dy
dx
lím
x
0
1210
f (x
x)
x
f (x)
f (x)
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL
La derivada
Regla de los cuatro pasosSea una función y
f (x), entonces:
1. y
x)
y
2.
y
3.
y
x
4.
dy
dx
f (x
f (x
x)
f (x
x)
x
y
x
lím
x
f (x)
0
f (x)
f (x
lím
x
(razón de cambio)
x)
x
0
f (x)
(derivada de la función)
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra la derivada de la función f(x)
5x
6
Solución
Se aplica la regla de los cuatro pasos yse obtiene:
1. y
y
2.
y
3.
y
x
4.
5( x
dy
dx
(5 x
x)
5 x
6 ) (5 x
(5 x
5 x
lím
y
x
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0
6
6)
x
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lím 5
x
6)
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5
0
5x
5 x
6
x
5x
6
5 x
x
5
(derivada de la función)
Este resultado se obtiene también cuando se utiliza la definición, como sigue:
lím
x
[ 5( x
x)
0
6]
x...
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cuando Newton tenía menos de 25
años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física y
astronomía.
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Mientras Newton estaba en casa (debido
a una peste que cerró la Universidad de
Cambridge) estableció las bases delcálculo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba
basado en su crucial visión de que la integración de una función era el
procedimiento inverso de su derivación.
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Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo
sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacionados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos
y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton
fue escritoen 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736.
Sir Isaac Newton
(1643-1727)
4
CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Definición
Sea f (x) una función, se define a su derivada f (x), como:
f (x)
lím
x
f (x
x)
x
0
f (x)
Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por:
y , f(x),
dy
o Dx y
dx
Interpretación geométrica
El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Donde:
x: incremento en x
y: incremento en y
y = f (x)
Y
L
Q (x + Δ x, f(x + Δ x))
f (x + Δ x)
f(x + Δ x) – f(x)
Lt
f (x)
P(x, f(x))
x + Δx
x
X
Δx
En la gráfica se observa que la pendiente de la rectaL es:
y
x
mt
f (x
x)
x
f (x)
Si x tiende a cero, la recta L coincide con Lt , entonces la pendiente de Lt será el límite de mt .
lím mt
x
y
x
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0
x
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lím
x
f (x
0
x)
x
Por definición, la derivada es:
dy
dx
lím
x
0
1210
f (x
x)
x
f (x)
f (x)
CAPÍTULO
CÁLCULO DIFERENCIAL
La derivada
Regla de los cuatro pasosSea una función y
f (x), entonces:
1. y
x)
y
2.
y
3.
y
x
4.
dy
dx
f (x
f (x
x)
f (x
x)
x
y
x
lím
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f (x)
0
f (x)
f (x
lím
x
(razón de cambio)
x)
x
0
f (x)
(derivada de la función)
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Encuentra la derivada de la función f(x)
5x
6
Solución
Se aplica la regla de los cuatro pasos yse obtiene:
1. y
y
2.
y
3.
y
x
4.
5( x
dy
dx
(5 x
x)
5 x
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(derivada de la función)
Este resultado se obtiene también cuando se utiliza la definición, como sigue:
lím
x
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