Linealizacion

GUÍA 5

Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia

Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia

Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia

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Maestría en Enseñanza de lasCiencias Exactas y Naturales

Linealización
Objetivo General
•

Linealizar modelos.

Objetivos específicos
• •

Linealizar modelos básicos que se presentan en ciencias naturales. Hacer regresión lineal por medio del método de mínimos cuadrados.

Introducción Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función lineal (es decir, su gráfica no es una línearecta). Sin embargo como los modelos lineales son más fáciles de analizar, se puede tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A este procedimiento se le denomina linealización. Métodos que permiten linealizar algunos modelos son:
• •

La logaritmación Cambio de variables

Por logaritmación Entre los modelos que permiten linealización mediante lalogaritmación están:
• •

La función potencial. La función exponencial.

La función potencial La función

y = bx a

se linealiza a través de los logaritmos,
log y = a log x + log b

Cambiando variables,
log y ≡ y '
log x ≡ x '

log b ≡ b '

se obtiene,
y ' = ax '+b'

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Es decir, si en la función potencial se grafica log y vs log x se obtiene la ecuación de una línea recta. La función exponencial La función

y = be a x

se linealiza a través de los logaritmos,
Ln y = ax + Ln b

Cambiando variables,
Ln y ≡ y '

Ln b ≡ b'

se obtiene,
y ' = ax + b '

Es decir, si en la función potencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuación de una línearecta. Por cambio de variables En los siguientes ejemplos se ilustrarán modelos que mediante el adecuado cambio de variables quedan linealizados. Ejemplo 1 Supóngase que se tiene un sistema masa-resorte oscilando. El modelo teórico afirma que, suponiendo que el alargamiento del resorte es proporcional a la carga aplicada (peso de la masa, m, acoplada al resorte), el período de oscilación, P, dela masa oscilante es:
P = 2π m k

siendo k, la constante elástica del resorte. Esta ecuación se puede transformar en,
P2 = 4π 2 m k

y al graficar P 2 vs m se obtiene una línea recta con pendiente,
a= 4π 2 k

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Linealización
Ejemplo 2 Para pequeñas oscilaciones, en el modelo teórico se afirma que el periodo de unpéndulo simple (masa puntual que pende de un hilo inextensible) es,
P = 2π l g

en donde l corresponde a su longitud y g al valor de la aceleración de la gravedad en el sitio donde oscila. La ecuación se puede transformar en,
P2 = 4π 2 l g

y al graficar P 2 vs l se obtiene una línea recta con pendiente,
a = 4π g
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Regresión lineal Dados un conjunto de datos experimentales (x1,y1),(x2,y2),…, (xN,yN), en donde se concluye (o al menos se sospecha) que la tendencia del comportamiento de los mismos es lineal, es possible encontrar la ecuación de la recta que mejor los represente. Uno de los métodos empleado para encontrar diha recta se denomina “método de los mínimos cuadrados”. Definiendo el error εi= yi — y, que corresponde a la diferencia entre el valor observado yi y el valor ajustadoy=axi+b (ver figura 1). El criterio de ajuste que toma el método de los mínimos cuadrados es exigir que la desviación cuadrática media sea mínima, es decir, debe de ser mínima la suma,

Figura 1
N

s = ∑(ε i ) = ∑[ yi − (axi + b)]
2 i =1 i=1

N

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El extremo de...