Literatura

La sorprendente sucesión de Fibonacci

LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI

La sorprendente sucesión de Fibonacci debe su nombre a Leonardo de Pisa (1.170-1.240), más conocido por Fibonacci (hijo de
Bonaccio). A pesar de ser un matemático brillante con una importante obra en su haber, es conocido principalmente por una cuestión
aparentemente trivial, una sucesión de números enteros en laque
cada término es igual a la suma de los dos anteriores.
1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 - 144- .......
Fibonacci tuvo un preceptor árabe y viajó por el Norte de
África. Gracias a ello aprendió el sistema de numeración árabe,
que a su vez Al-Khwarizmi aprendió de los hindúes, y lo
introdujo en Europa con su obra “Liber abaci”.
Desterró para siempre el viejo y complicadosistema de
numeración basado en las letras del alfabeto. Sólo sobrevive el
arcaico sistema latino en las inscripciones solemnes.
De todas formas, Fibonacci ha pasado a la historia por su famosa sucesión, la cual representa un buen número de situaciones prácticas, pero la más anecdótica es la relacionada con una
teórica cría de conejos en una granja.
Supongamos una pareja de conejos, los cualespueden tener descendencia una vez al mes
a partir del segundo mes de vida. Suponemos asimismo que los conejos no mueren y que cada
hembra produce una nueva pareja (conejo, coneja) cada mes. La pregunta es, ¿cuántas parejas de
conejos existen en la granja al cabo de n meses?.

© Vicente Viana Martínez

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Como puede fácilmente comprobarse, elnúmero de parejas coincide con los términos de la
sucesión de Fibonacci.
La sucesión de Fibonacci es uno de los temas más sorprendentes de la Matemática, existen
multitud de aplicaciones en los que aparece esa sucesión, existiendo una amplísima bibliografía
dedicada exclusivamente al estudio de sus propiedades y aplicaciones. A título de ejemplo citaremos.

Propiedades de la sucesión deFibonacci
1ª) Usando los términos de la sucesión de
Fibonacci podemos dibujar rectángulos de dimensiones
iguales a los términos de la sucesión, expresadas, por
ejemplo, en centímetros.
Tal como se observa en la figura adjunta, los
rectángulos

con

estas

dimensiones

encajan

perfectamente entre sí, como piezas de un puzzle
formando cuadrados, de tamaños progresivamente mayores.
Laexplicación es sencilla. Sumando los productos de los términos consecutivos de la sucesión en la forma.

© Vicente Viana Martínez

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(1·1) + (1·2) + (2·3) = 32, obtenemos el cuadrado del último término.
(1·1) + (1·2) + (2·3) + (3·5) + (5·8) + (8·13) + (13·21) = 212
(1·1) + (1·2) + (2·3) + (3·5) + (5·8) + (8·13) + (13·21) + (21·34) + (34·55) +(55·89) + (89·144)
= 1442
- - - - - - etc
2ª) Uniendo rectángulos de dimensiones igual a los términos correlativos de la sucesión de
Fibonacci, formamos la llamada espiral de Fibonacci.

3ª) La suma de diez elementos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci es
igual a 11 veces, el 7º elemento de ese grupo.¡OJO!. No hay que comenzar necesariamente por el
primer término de lasucesión.
1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – 144 - 233 .......
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 143 = 11 · 13
4ª) El cuadrado de un término de la sucesión de Fibonacci es igual al producto de los términos que quedan a su derecha e izquierda respectivamente, aumentado o disminuido en una
unidad. Esta diferencia va haciéndose alternativamente positiva y negativa.
f n-1 · f n+1 = (f n )2  1
2· 5 = 32 + 1
8 · 3 = 52 – 1

© Vicente Viana Martínez

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5ª) La suma de los cuadrados de dos números de Fibonacci consecutivos f n y f n+1 es igual
al término de Fibonacci de orden f 2·n+1 .
f n2  f n21  f 2·n  1

f3 = 2
f4 = 3
f 2·3+1 = f 7 = 13
(véase la sucesión de Fibonacci)

22 + 32 = 13

6º) Cualesquiera cuatro...