literatura

Pontiufb01cia Universidad Cat´lica de Chile
o
Centro de Alumnos de Ingenier´ 2009
ıa
Preuniversitario de Ingenier´
ıa

´
Algebra
Gu´ No 15
ıa

POTENCIAS Y RA´
ICES III:
´
FUNCION RA´ CUADRADA
IZ
1.

Resumamos...

Podr´
ıamos resumir todo lo que hemos visto con respecto a las ra´
ıces en
dos puntos:
Si n es un entero par positivo y a, b ∈ R + tales que bn = a, entonces
0√
n
a = b.
Si n es un entero impar positivo y a, b ∈ R, tales que b n = a,
√
entonces n a = b.
Ojo 1 Con respecto al primer punto, tambi´n sabemos que (−b) n = a, sin
e
embargo, por convenci´n, la ra´z cuadrada s´lo entrega el valor positivo.
o
ı
o
Ojo 2 Si n es un entero par positivo y a < 0 entonces
√
Ojo 3 a2 = |a| para todo a ∈ R.
Ojo 4 Si a ≥ 0 entonces

√
n
a NO pertenecea R.

√
k
n k
a = am .

Ya que podemos escribir las ra´
ıces como potencias, tambi´n se cumple que
e
√
√ √
1. n a · n b = n ab
√
n
√
a
a
2. √ = n , con n b = 0.
n
b
b
√
√
3. n am = ( n a)m , con a > 0.
√
√
4. n m a = n·m a.
√
√
5. b n a = n bn a.
√
√
6. n a = m·n am , con m ∈ Z+ y a > 0.
Las ra´
ıces en la mayor´ de las ocasiones deben ser racionalizadas, esdecir,
ıa
hay que eliminar las r´ices del denominador de una fracci´n. Para la PSU
a
o
hay dos casos
√
√
a
a
b
a b
1. √ = √ · √ =
.
cb
c b
c b
b
1

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Algebra
Gu´ No 15
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√
√
√
√
q p−c b
a(q p − c b)
√ = √
√ · √
√ =
2. √
.
q 2 p − c2 b
q p+cb
q p+c b q p−c b
√
a

a

2.

Funci´n Ra´ Cuadrada
o
ız
Se define la funci´n ra´ cuadrada como
o
ız
:

f

R+
0
x

→
→

R+
√0
x

Su gr´fico est´ dado por
a
a
6

y
5

4

3

2

1

0

x
-1
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ojo 5 A pesar de ser un crecimiento lento, la funci´n ra´z cuadrada es una
o
ı
funci´n continua ycreciente.
o

2

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3.

´
Algebra
Gu´ No 15
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Caso General

Hasta el momento hemos discutido solamente dos casos del caso general
f (x) = xn , que son para n = 2 y n = 1 .
2

Tambi´n existen funciones para otros n, por ejemplo la funci´n c´ bica cuando
e
o u
an = 3, la funci´n ra´ c´ bica con n = 1 , etc. Veamos un gr´fico donde se
o
ız u
3
puede apreciar el comportamiento a medida que cambia n.
5

f (x) = x2

y
f (x) = x4

4

3

f (x) = x
√
x

f (x) =

2

f (x) =

√
4
x

4

x

1

0
0

1

2

3

5

Cuando n es muy grande o muy peque˜ o, las funciones f (x) = x n se ven
n
m´s o menos as´
a
ı
5

y
n→∞4

3

2

1

n→0

0
0

1

2

3

3

4

x

5

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4.

Ejercicios
Sin calculadora. Marcar s´lo 1 alternativa.
o
√
√
√
√
1. 16 − 3 125 + 4 81 − 5 −32 =
a) 14
b) 6
c) 4
d) 2
e) 0
2.

(−3)2 es equivalente a
√
I)
9
II) 3
III) −3
a)S´lo I
o
b) S´lo II
o
c) S´lo III
o
d) S´lo I y II
o

e) S´lo II y III
o
√ 3 √
3
3.
5 3· 5 3=
a) 15
b)

9

c)

3

d)

3

√
25 4 3
√
25 3
√
5 3

√
e) 3 75

4

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4

4.
4

a
b3
=
b
a3

a) 1
a
b)
b
a
bc)
d)
e)
5.

4

4

1
ab
a
b

√
3 4
8 =
a) 23
b) 24
c) 26
d) 212

6.

e) 236
√
3
64 =
a) 2
b) 4

c) 8
√
d) 5 64
√
e) 6 8
√
7. 4 5 −2 =
√
a) 9 −2
√
b) 9 2
√
c) − 20 2
√
d) 20 2
e) no es un n´ mero real.
u
5

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