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funci´ n inversa o

Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a

´ LA FUNCION INVERSA
Existen diferentes definiciones de funci´ n inversa, aunque el concepto matem´ tico es el mismo. Expono a dremos aqu´ tres de ellas, para efectos formales, ya que para hallar la inversa de una funci´ n no se requiere ı o la utilizaci´ n de la definici´ n. o o DEFINICI´N 1 O Si R es una relaci´ n, la relaci´ n R∗definida por la proposiciones o o (a, b) ∈ R ←→ (b, a) ∈ R∗ y (a, b) ∈ R ∧ (c, b) ∈ R −→ a = c es llamada la inversa de R. Es decir, la inversa de una relaci´ n R es la relaci´ n R∗ que se obtiene intercambiando las componentes de o o cada una de los pares ordenados de R. Deducimos de esta definici´ n que el dominio de R es el codominio o ∗ ∗ de R y que el codominio de R es el dominio de R . Tomemos a R =f y a R∗ = f −1 , en esta definici´ n. o DEFINICI´N 2 O ´ Sea la funci´ n directa f : X −→ Y , inyectiva y de ambito Y. Se dice o que f es invertible si existe una funci´ n f −1 : Y −→ X, llamada o funci´ n inversa y cumple con la siguiente condici´ n: o o (f ◦ f −1 ) = f [f −1 (x)] = x, ∀ x ∈ Y y (f −1 ◦ f ) = f −1 [f (x)] = x, ∀ x ∈ X. Esta definici´ n usa el concepto de composici´ n de funcionestanto por la izquierda como por la derecha, a o o saber uno de ellos es: [f ◦ f −1 ](x) = IX (x) = x. Sea la funci´ n f : X −→ Y , ambos conjuntos no vac´os. Si f (x) = y o ı entonces f −1 (y) = x; ∀ x en el dominio de f ∧ ∀ y en el dominio de f −1 .

DEFINICI´N 3 O

Esto en diagramas de Venn-Euler se representa como

´ Esta ultima definici´ n es m´ s apta para secundaria mientras que los dosprimeras se usan m´ s a nivel unio a a versitario, para hacer demostraciones matem´ ticas. a

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Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a i) La notaci´ n f −1 se refiere a la inversa de la funci´ n f y no al exo o ponente − 1 usado para n´ meros reales. Unicamente se usa como u notaci´ n de la funci´ n inversa. o o ´ ii) La inversa de un funci´ n cuandoexiste, es unica. o iii) La inversa de una funci´ n cualquiera no siempre existe, pero la ino versa de una funci´ n biyectiva siempre existe. o iv) En general, las gr´ ficas de f y f −1 son sim´ tricas respecto a la funa e ci´ n identidad y = x. o

COMENTARIOS

M´ todo para Hallar la Inversa de una Funci´ n e o
Aunque existen varios m´ todos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan aobtener la inversa de la e funci´ n f (x). o

PROCEDIMIENTO 1. Se sustituye f (x) por y es la funci´ n dada. o 2. Se intercambian x y y para obtener x = f (y). 3. Se despeja la variable y. 4. En la soluci´ n se escribe f −1 (x) en vez de y. o Ejemplo 1

Hallar la inversa de la funci´ n f (x) = o

x 2

− 5. Y la inversa es la funci´ n; o

Soluci´ n o f (x) = y= x=
x 2 y 2 x 2

− 5,f −1 (x) = 2x + 10

− 5, intercambiando f (x) por y − 5, intercambiando y por x

x + 5 = y , transponiendo el 5 2 2(x + 5) = y, subiendo el 2 al lado izquierdo 2x + 10 = y, multiplicando por 2 y = 2x + 10, dando vuelta a la expresi´ n anterior o f −1 (x) = 2x + 10 intercambiando y por f −1 (x) www.matebrunca.com 2

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Ejemplo 2Hallar la inversa de la funci´ n f (x) = x2 . o La soluci´ n buscada es o f −1 (x) = √ x

Solucion f (x) = x2 y=x
2

x = y 2 , intercambiamos y por x √ √ x= √ y 2 , aplicando la ra´z a ambos lados ı

x = y, eliminando ra´z y el cuadrado ı √ x, acomodando la y √ x, sustituyendo y por f −1 (x)

y=

f −1 (x) =

Ejemplo 3

Encuentre la inversa de la funci´ n: f (x) = 3x − 5 o y finalmente,tenemos la inversa de f f −1 (x) = x+5 3

Soluci´ n o f (x) = 3x − 5 y = 3x − 5 x = 3y − 5 x + 5 = 3y
x+5 3

=y
x+5 3

y=

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Ejemplo 4

Encontrar la funci´ n inversa de la funci´ n: f (x) = x2 − 3. o o Sustituyendo, hallamos la funci´ n inversa, o f −1 (x) = √ x+3

Soluci´ n o f (x) = x2 − 3 y...