Lo0garitmo
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Publicado: 30 de agosto de 2010
El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para elsegundo, la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que N, cuando N y a son reales positivos y .Lo anterior da lugar a la siguiente definición: |
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Definición. Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces: La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base , denotada por ,se llama: funciónlogarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a. La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. 2.2.1 Teorema ( Propiedades de los logarítmos ) Si a> 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : . . Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. Para todo númeroreal , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva . . Si , y, != 0 , entonces, . (Invarianza)
Demostración. Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7.Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.
Sea .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene : . Esto es , ( 1 ) En segundo lugar , nuevamente por la definición , . 0 Es decir , ( 2 ). De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que . Sea y , entonces : ( 1 ). ( 2 ). De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : . Es decir , . 7.Se supone que a > 1y 0< x < y. Sean : y .Se prueba que . En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es decir , en contradicción con la hipótesis. Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. Observaciones. i ) La igualdad , dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 . ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con laspropiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen
de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma
base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es. iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número
e (número de EULER).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se
denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son
los correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan
por o, simplemente, Log x.
2.2.2. Gráfica de La Función Logarítmica...
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