Lofica y Sus Principales Aplicaciones

Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos Parte II
Juan Carlos Bressan y Ana E. Ferrazzi de Bressan

Resumen
En la Parte I se introdujeron simultáneamente las proposiciones, funciones proposicionales y sus conjuntos de verdad. Cada conectiva definida mediante una tabla de verdad, se relacionó con la operación entre conjuntos correspondiente. Las tautologías se utilizaron para diferenciar elcondicional de la implicación lógica, así como el bicondicional de la equivalencia lógica. En esta Parte II del trabajo, se analizan las tautologías y las formas de razonamiento válidas, se relaciona el cuantificador universal con la conjunción y la intersección de familias de conjuntos. Análogamente, se procede con el cuantificador existencial relacionándolo con la disyunción inclusiva y la unión defamilias de conjuntos. Se destacan la diferencia entre demostraciones por el contrarrecíproco y por el absurdo y la importancia en el orden en que se escriben los cuantificadores en Matemática. La numeración de los parágrafos así como de las tablas continúa la numeración de la Parte I, por cuanto las dos partes están estrechamente relacionadas constituyendo entre ambas la totalidad del trabajo.6. Tautologías y Formas de Razonamiento Válidas
En las tablas consideradas los valores de verdad de la proposición compuesta definida mediante conectivas, dependía de los valores de verdad de las proposiciones p y q que la formaban. Hay algunos casos en que la tabla de verdad toma únicamente uno de los valores F o V. En las contradicciones toma únicamente el valor F, por ejemplo, en p ∧ (¬p ) yen ( p ∧ q ) → [(¬p ) ∨ (¬q )] . En las tautologías, como las vistas en los parágrafos 5.4 y 5.5, toma únicamente el valor V. Otros ejemplos de tautologías son el principio del tercero excluido p ∨ (¬p) y los principios de identidad p → p y p ↔ p . Las tautologías permiten probar la validez de razonamientos. Para ello, se toma como antecedente de la implicación la conjunción de todas lasproposiciones que constituyen sus premisas y como consecuente la conclusión, comprobándose así que
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es una tautología. Esto asegura que de la verdad de las premisas se deduce la verdad de la conclusión. Por ejemplo, la validez del modus ponens,

p→q p q
resulta de la tautología [( p → q) ∧ p ] → q , como se observa en la Tabla 18.

p
V V F F

q
V F V F

p→q
V F V V

( p → q) ∧ p
V F FF Tabla 18

[( p → q) ∧ p] → q
V V V V

Puesto que la última columna de la tabla tiene únicamente el valor de verdad V, se obtiene que [( p → q ) ∧ p ] → q es una tautología, es decir, ( p → q ) ∧ p implica lógicamente q , que en forma simbólica se denota

[( p → q) ∧ p] ⇒ q .

Recordemos que, según afirmamos en 5.3, la forma de razonamiento

poq ¬p q
llamada silogismo disyuntivo, esválida tanto para la disyunción inclusiva como para la exclusiva. Esto puede comprobarse en la siguiente tabla de verdad.

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p
V V F F

¬p
F F V V

q
V F V F

p∨q
V V V F

p∇q
F V V F

( p ∨ q ) ∧ ( ¬p ) ( p∇q ) ∧ (¬p )
F F V F Tabla 19

[( p o q) ∧ (¬p)] → q
V V V V

Así, vale la equivalencia lógica [( p ∨ q ) ∧ (¬p )] ⇔ [( p∇q ) ∧ (¬p )] . De allí que podamos resumiren la última columna los valores de verdad de [( p o q) ∧ (¬p)] → q donde el “o” puede remplazarse por la disyunción inclusiva así como la exclusiva. De esta forma, [( p o q ) ∧ (¬p )] → q es una tautología y el silogismo disyuntivo es una forma de razonamiento válida. Para destacar la implicación lógica escribiremos [( p o q ) ∧ (¬p )] ⇒ q . Otra forma de razonamiento válido es el silogismohipotético,

Como puede observarse en la Tabla 19, hemos utilizado una misma columna para ( p ∨ q ) ∧ (¬p) y para ( p∇q) ∧ (¬p) pues tienen los mismos valores de verdad.

p→q q→r p→r
El mismo se obtiene de la tautología puede verse en la Tabla 20.

[( p → q) ∧ (q → r )] → ( p → r ) ,

como

p q r p → q q → r ( p → q ) ∧ (q → r ) p → r
V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V F...