logaritmos

MAT330
Cálculo I

GUIA DE EJERCICIOS N° 3
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIÓN LOGARITMO Y EXPONENCIAL

FUNCION LOGARITMO
El logaritmo de un número

x es el exponente y al que hay que elevar la base dada b ,
para que nos de dicho número x , es decir:

logb x = y ⇔ x = b y
La base tiene que ser positiva y distinta de 1. El Dominio de la función logaritmo es: Los
+

reales positivos ( ℜ )Propiedades:
a.

loga x + loga y = loga ( x ⋅ y)

c.

x
loga x − loga y = loga  
 y
 
n
loga x = n ⋅ loga x

d.

log10 x = log x

e.

log e x = ln x

b.

FUNCION EXPONENCIAL
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real

x le hace corresponder
la potencia a se llama función exponencial de base a y exponente x .
x
La más famosa de todas lasfunciones exponenciales es f ( x ) = a ⋅ e .
x

Donde

e ≈ 2,7182818284 5

El dominio de la función exponencial es: Todos los reales ( ℜ )

OBSERVACION
La función exponencial es la función inversa de la función Logarítmica (aplicadas en una
misma base) y viceversa, es decir por ejemplo:
a.

e ln( x ) = x

c.

10 log( x ) = x

b.

ln( e x ) = x

d.

log(10 x ) = x

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Cálculo I

1.

Considere la función:
a)

2.

Considere la función:
a)

3.

f ( 0)

Considere la función:
a)

5.

f (1)

Considere la función:
a)

4.

f (1)

f ( 0)

f ( x) = log 2 ( x) . Determine:
b)

f ( 2)

c)

f (32)

d)

1
f 
4

f (e 5 )

d)

f (9)

f (−1)

d)

1
f 
3

f (−3)

d)

1
f 
2

f ( x) =ln( x) . Determine:
b)

f (e)

c)

f ( x ) = e x . Determine:
b)

f (1)

c)

f ( x ) = 10 x . Determine:
b)

f ( 2)

c)

Grafique las siguientes funciones logarítmicas:
a)

f ( x) = log( x)

b)

f ( x) = ln( x)

c)

f ( x) = log 1 ( x)
2

6.

Grafique las siguientes funciones exponenciales:
a)

7.

f ( x ) = 10 x

b)

f (x ) = e x

c)

1
f (x )=  
5

x

La fórmula de la magnitud para la escala de Richter es:

M=
Donde

2  E
log
3  E0







E es la energía liberada por el terremoto (en joule), y E 0 = 10 4 joule es la

energía liberada por un terremoto pequeño de referencia empleado como un
estándar de medición.
a) El terremoto de 1906 en San Francisco liberó aproximadamente
joule de energía. ¿Cuálfue su magnitud en la escala de Richter?
b) El terremoto de 1985 en Santiago libero

5 × 1016

2,8 × 1017 joule de energía. ¿Cuál

fue su magnitud en la escala de Richter?
c) ¿Cuánta energía libero el terremoto de India en 1993, en el cual se midió
6,4 en la escala de Richter?

2

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Cálculo I

8.

M de un terremoto de intensidad I está

En la escala de Richter, lamagnitud
dada por:

M=

ln(I )
ln(10)

a) Encuentre la intensidad del terremoto de San Francisco de 1906, que midió
M = 8,3 en la escala de Richter.
b) Encuentre la intensidad del terremoto de Valdivia de 1960, que midió
M = 9,1 en la escala de Richter.
c) Si la intensidad de un temblor es de 4.320, ¿Cuál es su magnitud?

9.

La Función:

V ( x) =

15.500
1 + 500 ⋅ (1,09) − x

Dalas ventas totales, en miles de pesos,

x días después, de un nuevo mueble.

Determine:
a) ¿Cuántos días después se vendieron en total $6.000.000?
b) ¿Cuánto fue la venta después de una semana?
c) ¿Cuánto fue la venta total durante el pasado mes de Febrero?
d) ¿En qué día se vendieron en total $12.000.000?

10.

Si se invierten

P pesos al i % de interés compuesto anual, al cabo de naños se
n

i 

tendrá una cantidad A = P1 +
 . Determine:
 100 
a) ¿Cuál será la tasa de interés para que $1.000.000 se transforme en
$1.440.000 en dos años?
b) Si decido invertir $200.000 al 36% de interés anual, ¿Cuál es la cantidad
final después de 10 años?
c) ¿En cuánto tiempo debo invertir $100.000 para producir $12.300.000 al
33%?

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Cálculo I

11.

En...