logaritmos

FUNCIÓN LOGARÍTMICA - LOGARITMOS
Ejemplos: Resolver 101 - x = 30
101 - x = 3 . 2 . 5
Observemos que no podemos expresar al segundo miembro como potencia de 10, lo que nos
permitiría resolver la ecuación.
Nuestra pregunta es: ¿cómo podemos resolver ecuaciones del tipo 10x = k ?, o en general ¿ ax = k ?.
Podemos hacerlo si conocemos la función inversa de y = 10x . A esta nueva función se lallama
función logarítmica en base 10 y se denota y = log10 x .
Ahora, podemos decir que,
si 10x = k entonces x = log10 k
es decir, el logaritmo de un número en base 10 es el exponente al que hay que elevar la base 10 para
obtener dicho número.
Generalizando:
Sea a > 0 y a ≠ 1 , e y > 0, llamaremos logaritmo en base a de y al único número x que
verifica ax = y . Es decir,
loga y = x ⇔ ax =y .
Ejemplo: Para cada una de las siguientes igualdades exponenciales escribir la correspondiente
igualdad logarítmica.
a) 27 = 128
27 = 128 ⇔ log2 128 = 7
b) 81/3 = 2
81/3 = 2 ⇔ log8 2 =
3
1
Exponenciales y Logarítmos
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Ejemplo: Calcular
a) log2 16
log2 16 = y ⇔ 2y = 16 = 24 ⇔ y = 4
b) log2 32
log2 32 = y ⇔ 2y = 32 = 25 ⇔ y = 5
Ejemplo: Resolver 101-x = 30
101-x = 30 ⇔ 1 - x =log10 30 ≈ 1,47712
luego x ≈ - 0,47712
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Recordemos algunas propiedades de los logaritmos:
1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
loga (x . y) = loga x + loga y
2.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
loga (xy) = y . loga x
A partir de estas dos propiedades se pueden deducirlas siguientes:
3.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del
denominador.
loga  


  
y
x = loga x - loga y
Observar que loga  


 

y
x = loga  


 

y
x . 1
4.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.
loga y x =
y
1 loga x =
y
loga x
Observarque loga y x = loga (x1/y)
Exponenciales y Logarítmos
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Observemos los siguientes hechos importantes:
1.- El logaritmo de la base es siempre 1
loga a = 1 ¿por qué?
2.- El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base
loga 1 = 0 ¿por qué?
Ejemplos: Calcular:
a) log2 (8 . 4)
log2 (8 . 4) = log2 8 + log2 4 = 3 + 2 = 5
b) log4
64
1
log4
64
1 = log4 1 - log4 64 = 0 - 3 = -3
Ejercicio 5 :Calcular log2 481
Ejercicio 6 : Calcular log3 15 27
Ejercicio 7 : Mostrar con un ejemplo que en general,
a) log a (x + y) ≠ loga x + loga y
b) log a (x - y) ≠ loga x - loga y
CAMBIO DE BASE
Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los
logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra denotar log10 x = log x
omitiendo la base.
Ellogaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e ≅ 2,7182 y se denota
loge x = ln x .
Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar un cambio de base.
Exponenciales y Logarítmos
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Ejemplo: Calcular log2 3
Llamemos x = log2 3 , entonces 2x = 3 , aplicando logaritmo decimal a ambos miembros
obtenemos x log 2 = log 3 , finalmente, x =
2
3
loglog ≅ 1,5849 .
El procedimiento general es:
y = loga x
ay = x
y logb a = logb x
y =
log a
log x
b
b
ECUACIONES EXPONENCIALES Y ECUACIONES LOGARITMICAS
Ya hemos resuelto ecuaciones exponenciales del tipo 53-x = 53 y del tipo 101-x = 30 utilizando
logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades del logaritmo
y cambio de base.
Ejemplo: Hallar el valorde x en las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 3x . 52x = 4
Aplicando logaritmo decimal a ambos miembros de la igualdad, obtenemos:
log ( 3x . 52x ) = log 4
log 3x + log 52x = log 4
x . log 3 + 2 x log 5 = log 4
x . 0,477 + 2 x . 0,699 ≅ 0,602
x . 0,477 + x . 1,398 ≅ 0,602
x . (0,477 + 1,398) ≅ 0,602
x . 1,875 ≅ 0,602
x ≅ 0,321
b) 3x+1 + 3x-1 = 2431
3x+1 + 3x-1 = 2431
3 .3x +...