logaritmos

Logaritmos

Reseña

HISTÓRICA

John Napier
l término logaritmo lo acuñó el matemático escocés John Napier, a partir de los
términos griegos lógos (razón) y arithmós
(número) para designar a la correspondencia,
que había descubierto, entre los términos de
una progresión aritmética y otra geométrica. Al principio los llamó “números
artificiales”, pero luego cambió de opinión.

E

Allogaritmo que tiene por base el número e se le llama, en su honor, neperiano.
Pero fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a
usar los logaritmos con base 10. Briggs escribió acerca de su nuevo descubrimiento: “Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar
la solución de los problemas aritméticos y geométricos, con su empleo se
evitan todas las complejasmultiplicaciones y divisiones, y se transforman
en algo completamente simple, a través de la sustitución de la multiplicación por la adición y la división por la substracción. Además, el cálculo de
las raíces también se realiza con gran facilidad”.
John Napier (1550-1617)

01 CAPÍTULO
Definición
El logb N = a, es el exponente a, al que se eleva la base b para obtener el argumento N.
logb N =a ⇔ N = ba

Ejemplos

Con N y b números reales positivos y b diferente de 1

1

Emplea la definición de logaritmo para transformar las siguientes expresiones a su forma exponencial:
Forma logarítmica

Forma exponencial

1. log3 243 = 5

243 = 35

1
=6
64

3. log
2

4. log 1
3

2

2 −3 =

1
=3
27

2

⎛ 1⎞
1
= ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
64

1
= −3
8

2. log 1

6

1⎛ 1⎞
⎜ ⎟ =
⎝ 3⎠
27

1
8

3

Transforma las siguientes expresiones exponenciales en expresiones logarítmicas:
Forma exponencial
1. N =

( 2)

Forma logarítmica

3

log

2

N=3

2.

1
= 5 −3
125

log 5

3.

( 5)

log 5 25 = 4

4

= 25

4. x = y

1
= −3
125

log x y = p

p

EJERCICIO
Convierte a su forma exponencial los siguientes logaritmos:

1= −2
36

1. log2 8 = 3

4. log 6

2. logx 16 = 4

5. log

3. log3 81 = 4

6. log 7 343 = x

3

7. log a 6 =

1
2

10. log(x − 1) 128 = 7

8. log 3 ( x − 1) = 2

11. log3x 243 = 5

9. logw 625 = 4

9=4

12. log(2x − 1) 256 = 8

Transforma a su forma logarítmica las siguientes expresiones:

13. 172 = a

16.

14. 625 = 54

1
= N2
16

1
= 3−4
81

19.2x = 256

22.

4
⎛ 2⎞
17. ⎜ ⎟ =
⎝ 3⎠
9

20. (x − 2)3 = 8

23. 5 −3x = 125

18. (x + 3) = 24

21. x w = z

24. 441 = (3x + 2)2

2

1

15. 64 3 = 4

02

Aplicación de la definición de logaritmo
En los siguientes ejemplos se aplica la definición de logaritmo para encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra el valor de a en la expresión:log a 216 = 3.
Solución
Se escribe el logaritmo en su forma exponencial y se despeja la incógnita:
loga216 = 3

→

216 = a3

→

3

216 = a

→

6=a

Por consiguiente, el resultado es: a = 6

2

Encuentra el valor de m en log 2 m = 3.
Solución
Se transforma a su forma exponencial la expresión y se desarrolla el exponente:
log 2 m = 3

→

m=

( 2) = ( 2)
3

2

2=2 2Por tanto, el resultado es: m = 2 2

3

Determina el valor de x en la expresión: log 3

1
= x.
729

Solución
La expresión se transforma a la forma exponencial.
log 3

1
=x
729

3x =

→

1
729

El número 729 se descompone en factores primos y la ecuación se expresa como:
3x =

1
1
→ 3x = 6 → 3x = 3−6
729
3

De la última igualdad se obtiene: x = − 6

EJERCICIOEncuentra el valor de las incógnitas en las siguientes expresiones:

2
3

1. log x 25 = 2

6. log a 49 =

2. log x 64 = 3

7. log 3 x = 4

11. log 27 w =

1
3

12. log 3 x = −2

16. log 32

1
=a
4

17. log

1
=x
27

3

2

3. log y 81 = 4

8. log 2 m = 3

13. log 32 b = 0.2

18. log16 0.5 = y

4. log b 3125 = −5

9. log 0.5 y = 5

14. log 8 x =...