Logaritmos
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Publicado: 2 de abril de 2015
Logaritmos
En matemáticas, el logaritmo de un número en una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizaroperaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante por derecho propio que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento.Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a seencuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puestoque a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x seamenor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2son 1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.
Identidades logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de losfactores.
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más quehacer:
Elección y cambio de base
Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el Logaritmo natural, cuya base es e, base 10 Logaritmo comun, base 2 Logaritmo Binario, o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en baseb(suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):
en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos.
Si
2. El logaritmo de la base es 1
, pues
3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base
, pues
4. El logaritmo de un...
En matemáticas, el logaritmo de un número en una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizaroperaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante por derecho propio que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento.Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a seencuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puestoque a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x seamenor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2son 1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.
Identidades logarítmicas
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de losfactores.
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más quehacer:
Elección y cambio de base
Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el Logaritmo natural, cuya base es e, base 10 Logaritmo comun, base 2 Logaritmo Binario, o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en baseb(suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):
en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos.
Si
2. El logaritmo de la base es 1
, pues
3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base
, pues
4. El logaritmo de un...
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