LOGARITMOS

_____________________________________________________________Mg. Ing. EDUARDO CASADO

LOGARITMOS
LOGARITMO
Supongamos que se tiene el siguiente problema: ¿ Cuál es el numero cuyo cuadrado
es 49 ? . En este caso haríamos el siguiente planteo:
Si b 2 = 49 → b = 7 pues sabemos que 7 2 = 49
La operación inversa de la potenciación que consiste en calcular la base conociendo
la potencia y el exponentees la radicación Simbólicamente lo podemos expresar de la siguiente
manera:
n a = b ⇔ bn = a

Pero en este caso surge la pregunta ¿ A que exponente hay que elevar a 3 para
obtener 27?
Si 3 n = 27 → n = 3

pues 33 = 27

Para solucionar este problema podemos decir que la operación inversa de la
potenciación que consiste en calcular el exponente conociendo la potencia y la base se llamaLogaritmación

DEFINICIÓN:
Se llama logaritmo de base “b” de un número ”a” a otro número “n” tal que , “b” elevado
a la “n” sea igual a “a”. Con : a > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1 ; n ∈ R . Donde “a” se llama
argumento.En símbolos:
log b a = n ⇔ a = b n

con a > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1

Algunos ejemplos pueden ser:
a ) log 2 8 = 3

8 = 23

⇔

b) log 2 1 = −3

⇔

8

1
8

= 2 −3

PROPIEDADES:
1) El logaritmo en cualquier base delnúmero cero no existe

log b 0 = no existe
2) El logaritmo en cualquier base del número uno es igual a cero:

logb 1 = 0 ⇔ 1 = b 0 → 1 = 1
Ejemplo:
log 5 1 = 0

1

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3) Si en un logaritmo la base y el argumento son iguales, el resultado es igual a uno:
log b b = 1 ⇔ b = b1 → b = b
Ejemplo:

log 4 4 = 1
4)Logaritmo de una potencia:
log b a n = n. log b a
Ejemplo:
log 2 25 = log 2 5 2 = 2. log 2 5
log 2 32 = log 2 (32 )

1

2

= 1 . log 2 32 = 1 . log 2 2 5 = 5 . log 2 2 = 5
2

2

2

2

5) Logaritmo de una potencia racional:
1

log b n a = log b a n =

1
. log b a
n

Ejemplo:
1
1
1
log 3 3 = log 3 3 2 = . log 3 3 =
2
2

6) El logaritmo no es distributivo con respecto a la suma y a la resta, o sea que ellogaritmo de
una suma algebraica no es igual a la suma algebraica de los logaritmos
log b ( x + y − z ) ≠ log b x + log b y − log b z
Ejemplo:

log 2 (8 − 4) ≠ log 2 8 − log 2 4
log 2 4 ≠ log 2 2 3 − log 2 2 2
2 log 2 2 ≠ 3 − 2
→

→ log 2 2 2 ≠ 3 log 2 2 − 2 log 2 2
2 ≠1

Claramente podemos ver que la igualdad no se cumple

7) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos
log b (x. y ) = log b x + log b y
Demostración:
Si m = log b x → x = b m ( I )

Si n = log b y → y = b n ( II )
Multiplicando estas dos expresiones (I) y (II) miembro a miembro tendremos:
x. y = b m .b n → x. y = b m+ n → tomamos logritmo en ambos miembros
log b x. y = log b b m + n → log b x. y = (m + n). log b b como log b b = 1
log b ( x. y ) = m + n → log b ( x. y ) = log b x + log b y
Ejemplo:

log2 16 = log 2 2 + log 2 2 3

log 2 (2.8) = log 2 2 + log 2 8

→

log 2 2 4 = log 2 2 + 3 log 2 2

→ 4. log 2 2 = 1 + 3

→

→

4=4

2

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Esta propiedad se puede aplicar también de la misma forma cuando se multiplican mas
de dos términos, la expresión quedaría de la siguiente forma:
log b ( x. y.z ) = log b x + log by + log b z

8) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos
log b  xy . = log b x − log b y
 
Demostración:
Si m = log b x → x = b m ( I )

Si n = log b y → y = b n ( II )
dividiendo estas dos expresiones (I) y (II) miembro a miembro tendremos:
x
.=
y

bm

x
x
= b m .b −n →
= b m−n → tomamos logritmo en ambos miembros
y
y
b
x
x.
log b = log b b m − n → log b = (m− n). log b b como log b b = 1
y
y
x
x
log b   = m − n → log b = log b x − log b y
y
 y
Ejemplo:
1
2
log 2   = log 2 2 − log 2 8 → log 2 = log 2 2 − log 2 2 3 →
4
8
n

→

log 2 2 −2 = log 2 2 − 3 log 2 2

→ (− 2.) log 2 2 = 1 − 3

→

− 2 = −2

9) La ley cancelativa de los logaritmos se aplica de la siguiente forma:
log b x = log b y

⇒

x=y

Se debe considerar que para que cumpla...