LOGICA MATEMATICA

TEMA 1

1.1. LOGICA MATEMATICA


1.1.1. Introducción

La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones erróneas. Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos. Todo debe definirse de tal forma que no dé lugar a dudas o imprecisiones en la veracidad de su significado. Nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmentesuficientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario, un enunciado u oración se puede definir como “una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayúscula y termina con un punto”.

Sin embargo, en lógica simbólica una oracióntiene un significado mucho más específico y se llama proposición. La lógica se afirma, es la ciencia de las proposiciones y de las demostraciones. Un lógico se preocupa de la forma de los razonamientos y no presta atención a su contenido. Si esto es verdad, esto otro también es verdad.

1.1.2. Proposición

Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.

Loselementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algún tipo de imprecisión (carecen de sentido), no son objeto de estudio de la lógica

Es una oración que es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Ejemplo de oraciones que son proposiciones
5 es unnúmero primo.
− 17 + 38 =21
Todos los números enteros son positivos.
Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas.

Representación simbólica de proposiciones
5 es un número primo puede ser representada por la letra a, de la forma:
a: 5 es un número primo.

Ejemplo de oraciones que no son proposiciones
Lava elauto, por favor.
Hola, ¿cómo estás?
¡Apúrate!
La conceptualización cambia lo absurdo en azul.
x + 5 =9
¡Mañana se acabará el mundo

Las primeras cuatro oraciones no son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones.
El quinto enunciado no es una proposición, ya que el valor de x no espreciso
y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad.
La sexta oración no es una proposición porque su valor de verdad no se puede determinar.

Proposición Simple
Es aquella que no tiene operador lógico, también se las llama atómicas.

Proposición Compuesta
Es aquella que contiene operador lógico.

1.1.3. Definición (Valor de verdad)

El valor de verdad de una proposición es la cualidadde veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.
Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1 , V, T, ; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Se podría utilizar cualquiera de ellas, pero la convención a seguir en el texto será el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeración binario.

En el ejemplo de lasoraciones con proposiciones podemos observar que el valor de verdad de la segunda proposición es VERDADERO, mientras que el valor de verdad de la tercera proposición es FALSO.

1.1.4. Definición (Tabla de verdad)

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.
Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y losresultados posibles al realizar operaciones lógicas


La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica
1.2. Operadores lógicos

Son los que permiten formar proposiciones complejas a partir de otras sencillas.

1.2.1. La negación

Sea a una proposición, la negación de a , representada simbólicamente por ¬ a , es...