logica tipica

PERMUTACIONES
Es un método para ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto.
n

P  n!
n

P  n n  1n  2 
n
FACTORIAL
0! = 0
1! = 1
2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

EJEMPLO:
1. Se quiere formar números de 4 dígitos a partir de los números 2, 3, 4 y 5.
n

P  4 P  P  4! 4 x3x2 x1  24
n
44

Veamos cuales serían estas cifras:
2345
2354
2435
2453
2534
2543

3245
3254
3425
3452
3523
3532

4235
4253
4325
4352
4523
4532

2. Con las letras A, M, O; ¿Cuántas palabras se pueden formar?

P  3! 3x2 x1  6
3
AMO
AOM

MAO
MOA

OAM
OMA

5234
5243
5324
5342
5423
5432

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

P  r1 :r2 :r3  
n

n!
r ! r2! r3!
1Dónde: n: Número de elementos y r1, r2, r3: Número de repeticiones.
EJEMPLO:
1. ¿Cuántos grupos de 6 letras se pueden formar con las letras de la palabra CARARE?
Repeticiones:

P  r : 2, 2  
6

A: 2 veces
R: 2 veces

r1 = 2
r2 = 2

6!
6 x5 x 4 x3 x 2!

 360
2! 2!
2 x1x 2!

2. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra
MISSISSIPPI?
Repeticiones:S: 4 veces
I: 4 veces
P: 2 veces

P  r: 2 , 4 , 4  
11

r3 = 4
r2 = 4
r1 = 2

11
!
 34.650
2! 4! 4!

3. a. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra
COOPERADOR?
Repeticiones: O: 3 veces r1 = 3
R: 2 veces r2 = 2

P r : 2, 2  
10

n = 10

10!
 302.400
3! 2!

b. ¿Si se considera que las “O” deben estar juntas?

P r : 2  
8

8! 20.160
2!

4. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante 5 libros de álgebra y 3
diccionarios con la condición de que siempre los libros de algebra estén juntos y los
diccionarios también?


Es un caso especial de
permutaciones.

P  5! 120
5
P  3! 6
3
Número de permutaciones entre grupos: 21 = 2
El número total de permutaciones: 120 x 6 x 2 = 1.440

VARIACIONESSon permutaciones de algunos elementos de un conjunto. Se simboliza de la siguiente
manera

Vr  n P  Vrn
r

n

n
r

V

Permutaciones o variaciones en “n”
elementos tomados de “r” en “r”

n!

n  r  !

EJEMPLOS
1. Se tienen los números naturales 1, 2, 3 y 4. ¿Cuántos números de tres dígitos se
pueden formar?
123
132
124
142
134
143

Vrn 

213
231
214
241
234243

n!
 V34 
n  r  !

312
321
314
341
334
343

412
421
413
431
423
432

4!
4!

 24
4  3 ! 1
!

2. ¿Cuántas cifras de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9, usándolos
una sola vez?
10
V4 

10!
10 x9 x8 x7 x6!

 5.040
10  4 !
6!

3. Si un estudiante tiene 9 libros y desea ordenar a 5 de ellos sobre un estante. ¿De
cuántasmaneras distintas puede hacerlo?

V59 
4.

9!
9 x8 x7 x6 x5 x 4!

 15.120
9  5 !
4!

¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 10 banderas distintas, levantando
al menos 3 y no más de 6 banderas en una de un mástil?
10
V310  V4  V510  V610 

10! 10! 10! 10!



 187.200
7!
6!
5!
4!

5. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden contestar un examen de 5preguntas, si
hay que responder a 3 de ellas?

V35 

5! 5 x 4 x3x 2!

 60
2!
2!

COMBINACIONES
Son arreglos de los elementos de un conjunto sin importar el orden en que se dispongan.

n

Cr 

n!
n  r  ! r!

EJEMPLOS
1. ¿Cuántas comisiones de 3 personas se pueden formar seleccionándolas de entre 10
personas?

n  10
10

C3

r 3
10!
10!
10 x9 x8 x7!



120
10  3 ! 3! 7! 3!
7! 3x 2

2. ¿Cuántos comités diferentes pueden seleccionarse entre 7 hombres y 4 mujeres, si
deben constituirse de:
a. 3 hombres y 2 mujeres.


  7!   4! 
77 
7!
4!
    
  4  2 ! 2!   4!3!  2!2!
 3  3
     7  3 !3! 
 


 7 x6 x5 x 4!  4 x3 x 2!
 4! 3 x 2   2! 2!   356   210


...