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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Septiembre 2002
EJERCICIO A

PROBLEMA 1. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha. conolivos de tipo A
ni más de 10 ha. con olivos de tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se
dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cadahectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se
dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y300 litros
anuales de aceite,
a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite.
b) Obtener la producción máxima.

Solución:Los datos del problema podemos resumirlos en la tabla
Tipo de olivo Agua por ha. y año Inversión por ha. Producción por ha. ha. dedicadas
A
4 m3
500 €
500 l
x
B
3 m3
225 €
300 l
yRestricciones
44 m3
4500 €
Las ecuaciones de las restricciones serán,
“No se pueden cultivar más de 8 ha. con olivos del tipo A”
“No se pueden cultivar más de 10 ha. con olivos del tipo B”
“Se disponede 44 m3 de agua al año”
“Se dispone de 4500 € para invertir”

x≤8
y ≤ 10
4 x + 3 y ≤ 44
500 x + 225 y ≤ 4500

Queremos maximizar la producción de aceite que será: 500 x + 300 y
El problema aresolver es:
maximizar z = 500 x + 300 y

x ≤ 8
 y ≤ 10


s.a. 4 x + 3 y ≤ 44
500 x + 225 y ≤ 4500

 x, y ≥ 0

Cálculos para representar las restricciones

4 x + 3 y ≤ 44
4 x+ 3 y = 44
x
y
11
0
44
0
3
¿(0,0) cumple ?
4 . 0 + 3 . 0 ≤ 44 sí

500 x + 225 y ≤ 4500
500 x + 225 y = 4500
xy
90
0 20
¿(0,0) cumple ?
500 . 0 + 225 . 0 ≤ 4500 sí

Debemos calcularlos siguientes puntos de corte,

 y = 10

4 x + 3 y = 44

4 x + 3.10 = 44 → 4 x = 14 → x =

4 x + 3 y = 44

500 x + 225 y = 4500

de la 1ª

sustituyendo en la 2 ª 500 x + 225...