Los Cuatro Cuatros

A pensar se ha dicho

Problemas de este n´ mero u
Problema 1. Dividir la figura: a) en cuatro partes de igual ´rea mediante una l´ a ınea recta; b) en cuatro partes iguales con una l´ ınea, nonecesariamente recta. (NOTA: Evidentemente la parte oscura y la clara suponen ya dos partes independientes.)

Problema 2. He aqu´ seis proposiciones, cada una de las cuales es cierta o falsa: ı 1. Lasproposiciones 2 y 3 son ambas ciertas o falsas. 2. Exactamente una de las proposiciones 4 y 5 es cierta. 3. Exactamente una de las proposiciones 4 y 6 es cierta. 4. Exactamente una de las proposiciones1 y 6 es cierta. 5. Las proposiciones 1 y 3 son ambas ciertas o falsas. 6. Exactamente una de las proposiciones 2 y 5 es cierta. ¿Cu´les de las seis proposiciones son ciertas? a Problema 3. Encuentre1 000 n´meros consecutivos que no sean primos. u Problema 4. a) ¿Existe alg´n n´mero a tal que a2 es irracional, pero a4 racional? b) ¿Existen u u dos n´meros racionales tales que sean racionalestanto su suma como su producto? u

Respuesta a los problemas del n´ mero anterior u
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Problema 1. Recordemos que un subconjunto de los n´meros reales es denso si cualquier intervalo u abiertocontiene elementos de tal subconjunto. El conjunto de todos los n´meros de la forma 2πm + n con m, n enteros es un conjunto denso u en la recta real. La funci´n coseno es continua y suprayectiva en elintervalo [−1, 1], y toda funci´n continua o o manda subconjuntos densos en subconjuntos densos en la imagen. Entonces el conjunto de todos

´ RESPUESTA A LOS PROBLEMAS DEL NUMERO ANTERIOR

los n´merosde la forma cos(2πm + n) con m, n enteros, es denso en el intervalo [−1, 1], pero u notemos que: cos(2πm + n) = cos(n) = cos(−n). Entonces el conjunto {cos n}∞ es denso en el intervalo [−1, 1]. n=1...