Los Diez Problemas De Apolonio

Los diez problemas de Apolonio

Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y que tiene este enunciado:

Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar unacircunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados.

Este problema da lugar a diez casos posibles. Los más sencillos (tres puntos y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros seis (dos puntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, doscircunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia) en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias) en el Libro II de las Tangencias. Aunque desgraciadamente estos libros se han perdido, a través de Pappus de Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los nueve primeros, y hoy en día se cree que fue IsaacNewton el primer matemático que resolvió por medio de la regla y el compás el problema de encontrar la circunferencia tangente a otras tres circunferencias.

1. Circunferencia que pasa por tres puntos dados (PPP).

Si la circunferencia tiene que pasar por los tres puntos A,B y C dados, su centro debe coincidir con el circuncentro del triángulo ABC. Basta, por tanto, trazar las mediatrices de dos delos segmentos determinados por los tres puntos. La intersección de las mismas determinará el centro O de la circunferencia buscada.


















2. Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta (PPR).

Sabemos que toda circunferencia que pase por dos puntos tiene su centro en la mediatriz del segmento definido por los mismos, por lo que trazaremos la mediatriz delsegmento AB. La recta AB debe ser, además, el eje radical de las circunferencias solución y de cualquier otra que pase por los puntos A y B, por lo que trazaremos una circunferencia auxiliar con centro en un punto O cualquiera de la mediatriz que pase por los puntos A y B dados.

La intersección P de la recta AB con r, por ser del eje radical, debe tener la misma potencia respecto de la circunferencia decentro O y de las circunferencias solución, y las tangentes trazadas desde P a dichas circunferencias deben medir lo mismo.
Trazamos, por tanto, la tangente PT a la circunferencia O, y con centro en P trasladamos la longitud del segmento PT sobre la recta, obteniendo los puntos de tangencia T1 y T2 de las circunferencias solución con la recta r. Para hallar sus centros, basta con trazar por lospuntos de tangencia perpendiculares a r, que cortarán a la mediatriz de AB en los centros O1 y O2 de las soluciones.





















3. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto (RRP).

Primer procedimiento:
Se considera el punto P y las rectas r y s . Por una parte, es evidente que el centro de la circunferencia solución tiene que ser un punto de la bisectriz y,por otra, la circunferencia solución también debe de contener al punto P’ (simétrico de P respecto de la bisectriz). Esta observación permite reducir este problema al anterior y, por tanto, se llega a la solución siguiendo los mismos pasos.
























Segundo procedimiento:
Podemos establecer una homotecia directa entre todas las circunferencias tangentes a las dos rectas. El centro dehomotecia será la intersección C de r y s.
Trazamos una circunferencia auxiliar cualquiera tangente a r y s, y unimos el punto P con el centro de homotecia C. La recta PC corta a la circunferencia auxiliar en los puntos M y N. Los radios OM y ON deben tener radios homotéticos en las circunferencias solución y, para hallarlos, basta con trazar paralelas a dichos radios por P, que cortarán a la...