Los números racionales

En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas,se toma como representante canónico del dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). Elnúmero racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).
El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son unaclase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en larecta de los números reales.
Construcción de los números racionales
Consideremos las parejas de números enteros donde.
denota a. A se le llama numerador y a se le llama denominador
Al conjunto de estos números se le denota por . Es decir
En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (unafracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.
Definición de suma y multiplicación en Q
Se define la suma
Se define la multiplicación
Relaciones de equivalencia y orden en Q
Se define la equivalencia cuando
Los racionales positivos son todos los tales que
Los racionales negativos son todos los tales que
Se defineel orden cuando
Notación
Los números de tipo son denotados por
Las sumas de tipo son denotadas por
denota a
Todo número se denota simplemente por.
Propiedades de los números racionales
El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.
Propiedades de la suma y multiplicación.La suma en Q es conmutativa, esto es:
La suma en Q es asociativa, esto es:
La multiplicación en Q es asociativa, esto es:
La multiplicación se distribuye en la suma, esto es
Existencia de neutros e inversos.
Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
Para cualquier número racional: se cumple queentonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
Cada número racional: con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que
Representación decimal de los números racionales.
Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:
Exacta: la partedecimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos...