LOS NUMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES

NUMEROS REALES
Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por R.



PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

PROPIEDADES DELA SUMA DE NUMEROS REALES
I) Conmutatividad.
Para todo a y b en R, a + b = b + a.
EJEMPLO:
a= 4 b=5 => 5+4 = 4+5 => 9 = 9
II) Asociatividad.
Para todo a, b y c en R, (a + b) + c = a+ (b + c).
EJEMPLO:
a= 6 b=8 c=2 => (6+8)+2 = 6+ (8+2) => (14)+2 = 6+ (10) => 16 = 16
III) Existencia del Elemento Identidad.
Existe un elemento 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a paratodo a ∈ R.
EJEMPLO:
a=5 => 5+0 = 0+5 =5 => 5 = 5 = 5
IV) Existencia de Elemento Inverso.
Para todo a ∈ R, a ≠ 0, existe un elemento −a ∈ R tal que −a + a = 0.

EJEMPLO:
a= 8=> -8+8 = 0 => 0 = 0

En lenguaje algebraico estos cuatro axiomas dicen que (R, +) es un grupo abeliano. A partir de estos axiomas podemos obtener otras propiedades delos números reales.
Ejemplo 1 (Ley de cancelación para la suma)
Si a; b y c están en R y a + b = a + c entonces b = c.
Demostración. Por (IV) existe el elemento inverso –a ∈ R y entonces-a + (a + b) = -a + (a + c)
por lo tanto (-a + a) + b = (-a + a) + c por (II)
de donde 0 + b = 0 + cpor (IV)
y en consecuencia b = c por (I) y (III)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS REALES

V) Conmutatividad.
Para todoa y b en R, a. b = b. a.
EJEMPLO:
a= 4 b= 5 => (4) (5) = (5) (4) => 20 = 20
VI) Asociatividad.
Para todo a; b y c en R, (a. b). c = a. (b. c).
EJEMPLO:
a= 3 b=6 c==> ((3) (6)) (1) = (3) ((6) (1)) => (18) (1) = (3) (6) => 18=18
VII) Existencia del Elemento Identidad.
Existe un elemento 1 ∈ R; 1 ≠ 0 tal que a. 1 = a para todo a ∈ R.
EJEMPLO:...