Lotka Volterra

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El modelo Lotka–Volterra fue propuesto
por dos científicos, Alfred Lotka y Vito
Volterra. Este modelo describe la
dinámica entre dos especies en un
ecosistema. Una
de las
cuales se
comporta como depredador y otra
como presa. El modelo consta de dos
ecuaciones diferenciales, no lineales de
primer orden.

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Biofísico y matemático, se le considera el
fundador
de
lademografía
matemática. Estudió la demografía de
las poblaciones y definió los conceptos
de
población
estable,
población
estacionaria y tasa de crecimiento
natural.

El modelo fue propuesto inicialmente por Lotka
en su en 1910. Este era en realidad la misma
ecuación logística, que había sido expuesta
originalmente por Pierre François Verhulst.

En 1920 Lotka se apoyó en el trabajo deKolmogorov, el modelo de sistemas
orgánicos, usando una de planta y una
especie animal herbívora.
Finalmente en 1925 utilizó las ecuaciones para
analizar las interacciones depredador-presa
en su libro sobre biomatemática, llegando a
las ecuaciones que se conocen hoy en día.

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Matemático y físico, nacido en Ancona
Italia; Destacado por sus investigaciones
en ecuaciones integrales ydiferenciales.
Influyendo en campos como la óptica,
el electromagnetismo y elasticidad de
materiales.

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Volterra llego al modelo estudiando los
registros de
las pesqueras. De allí
concluyó
que
la
cantidad
de
depredadores aumentaba cuando la
pesca disminuía. De este
estudio
también surgió su primera teoría llamada
Oscilaciones en las relaciones presadepredador de Volterra.

Para las presas (x):
La velocidad con que varía la población de presas x
es proporcional a la población existente en el
momento t y al número de encuentros con los
depredadores. Entonces la velocidad de la
población será:
Donde:

dx
 ax  bxy
dt

a :tasa de crecimiento de las
presas en ausencia de
depredadores.
b: tasa de eliminación de presas
por parte de los predadores.

Para los depredadores (y):
La velociodad de variación de la
población sera; proporcional al número
de predadores (y) en el momento t, y al
número de encuentros presa (x)
depredador (y).
Donde:

dy
 cy  dyx
dt

C : tasa de mortalidad de predadores.
D: tasa de crecimiento de los predadores
como resultado del exitoso consumo de
presas.

Gráficamente puede verse que:
1. Enausencia de predadores, la presa crece en forma
exponencial. Para ello basta resolver

dx
 ax
dt
dx
 adt
x

xo

2. En ausencia de presas, los predadores se extinguen en forma
exponencial.

dy
 cdt
y

yo

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Finalmente se obtienen las dos
ecuaciones diferenciales del modelo, no
lineales de primer orden:

dx
 ax  bxy
dt
 ( a, b)  0
 ( c, d )  0

dy
 dyx  cydt

El sistema es “acoplado”
porque la variación de
uno de los componentes
del sistema afecta al
segundo componente
que a su vez afectará al
primero.

Supuestos del modelo:
a.
b.

c.
d.

La población de presas siempre tiene
alimentos disponible.
La provisión de alimento para los
depredadores depende únicamente de
la población de presas.
La tasa de cambio de la población esproporcional a su tamaño.
El ambiente no afecta a la población de
ninguna de las especies.

La solución grafica para este sistema de ecuaciones es:

Presas

Depredadores

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Es un ejemplo clásico; ya que la
compañía Hudson Bay anotó las
capturas de estas dos especies en el
período 1800-1900 y se asume que las
capturas son representativas del tamaño
de las poblaciones para sucorrecto
análisis.

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Gráfica de las capturas obtenidas a
partir de los datos de la compañía.

En la tabla se muestra el índice de capturas de linces y
conejos en miles, elaborada por la compañía Hudson Bay
entre los años 1900 y 1920 y su respectiva gráfica.

Aunque para la realización de este ejemplo no se tuvieron en cuenta
la variación del clima, la interacción con otras...