lugares geometricos elipse

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA ANALÍTICA.

DIMENSIÓN: CONOCIMIENTO MATEMÁTICO.
NÚCLEO TÉMATICO: GEOMETRÍA ANALÍTICA.
MÓDULO: 5.TEMA: LUGARES GEOMÉTRICOS. Secciones cónicas: La Elipse.

LA ELIPSE.

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (llamados Focos),es constante.

ELEMENTOS:


Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje normal: Es la mediatriz de
Vértices: Son los puntos de la elipse que están sobre el eje focal.
Centro: Es elpunto de intersección de los ejes.
Eje mayor: Es el segmento determinado por los vértices (, en el dibujo).
Eje menor: Es el segmento determinado por la intersección del eje normal con la elipse (, enel dibujo).
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la elipse.
Lado recto: Cuerda que pasa perpendicularmente por uno de los focos.
Diámetro: Es toda cuerda que pase por el centro.
Ecuación de laelipse con vértice en el origen de un sistema Cartesiano y eje, el de las x


Consideremos el punto P(x, y) móvil que genera la elipse. F1(c, 0) y F2 (– c, 0) las coordenadas de los focos. PF1 +PF2 = 2 a, a > 0, y en consecuencia a > c (En PF1F2, F1F2 = 2 c < PF1 + PF2 = 2 a; en todo triangulo, un lado es menor que la suma de los otros).
Hallando las distancias y reemplazando, tenemos:PF1 + PF2 = 2 a



Miremos la intersección con los ejes:
a. Si y = 0 entonces , por lo que . Esto significa que las coordenadas de los vértices son V1(a, 0) y V2(– a, 0)
b. Si x = 0 entonces ,por lo que . Por consiguiente las coordenadas de los extremos del eje menor, son B1(0, b) y B2(0, – b)
Relación entre a, b y c:

F1B1C  F2B1C (LAL). Por ello B1F2 = B1F1. Como B1 está en laelipse, B1F1 + B1F2 = 2 a. Reemplazando tendremos: 2 B1F1 = 2 a, por lo que B1F1 = a



EXCENTRICIDAD: Es la relación entre c y a. Se le representa con la letra e. Por lo tanto,
Como c < a, <...