Lugares Geometricos

LUGARES GEOMÉTRICOS
Ejercicio nº 1.Halla el lugar geométrico de los puntos, P, cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(−4, 0, 0) y B(4, 0, 0) es 40. Identifica la figura resultante. Ejercicio nº 2.Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos π: 2x − 3y + z − 1 = 0 y σ: 3 x + y − 2z + 5 = 0 Ejercicio nº 3.Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistande los planos: π : 3x − 4y + 2z + 3 = 0 Ejercicio nº 4.Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio tales que su distancia al punto Q(1, 0, 0) es 3. Identifica la figura resultante. Ejercicio nº 5Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(−2, 0, 0) y B(2, 0, 0) es 106. Identifica la figura resultante. y σ : 2x + 3y − 4z −1 = 0

ESFERA
Ejercicio nº 6.Halla la ecuación de la esfera de centro (2, 1, −4) y que tiene el mismo radio que: x2 + y2 + z2 − 16 = 0

Ejercicio nº 7.Escribe la ecuación de la esfera de radio 5, que es concéntrica con la esfera: x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 4z + 13 = 0 Ejercicio nº 8.Di si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, di su centro y su radio: 3x2 + 3y2 +3z2 + 24x − 12y − 12z − 36 = 0
1

Ejercicio nº 9.Averigua si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, halla su centro y su radio: 2x2 + 2y2 + 2z2 − 4x − 8y + 2 = 0 Ejercicio nº 10.Obtén la ecuación de la esfera que tiene el mismo centro que x2 + y2 + z2 + 2x + 2y − 2z − 61 = 0 y es tangente al plano x + y − z + 6 = 0.

SOLUCIÓN EJERCICIOS LUGARES GEOMÉTRICOSEjercicio nº 1.Halla el lugar geométrico de los puntos, P, cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(−4, 0, 0) y B(4, 0, 0) es 40. Identifica la figura resultante.

Solución: Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que:
dist ( P, A )  + dist ( P, B )  = 40    
2 2

Es decir:

( x + 4)

2

+ y 2 + z2 + ( x − 4) + y 2 + z2 = 40
2

x 2 + 8 x + 16 +y 2 + z 2 + x 2 − 8 x + 16 + y 2 + z 2 = 40 2 x 2 + 2 y 2 + 2z 2 = 8 x 2 + y 2 + z2 = 4

Es una esfera de centro (0, 0, 0) y radio 2.

Ejercicio nº 2.Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos π: 2x − 3y + z − 1 = 0 y σ: 3 x + y − 2z + 5 = 0

2

Solución: Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe tenerse que: dist (P, π) = dist (P, σ) Es decir:
2x −3y + z − 1 14 = 3 x + y − 2z + 5 14

2 x − 3 y + z − 1 = 3 x + y − 2z + 5

2 x − 3 y + z − 1 = 3 x + y − 2z + 5 → x + 4 y − 3z + 6 = 0   2 x − 3 y + z − 1 = −3 x − y + 2z − 5 → 5 x − 2y − z + 4 = 0 

Obtenemos los planos bisectores de los ángulos diedros formados por π y σ. Los planos obtenidos son perpendiculares entre sí y se cortan en la misma recta que π y σ.

Ejercicio nº3.Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos: π : 3x − 4y + 2z + 3 = 0 y σ : 2x + 3y − 4z − 1 = 0

Solución: Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe tenerse que: dist (P, π) = dist (P, σ); es decir:
3 x − 4 y + 2z + 3 29 = 2 x + 3 y − 4z − 1 29

3 x − 4 y + 2z + 3 = 2 x + 3 y − 4 z − 1
3 x − 4 y + 2z + 3 = 2 x + 3 y − 4z − 1 → x − 7 y + 6z + 4 = 0  − 0 3x − 4 y + 2z + 3 = 2 x − 3 y + 4z + 1 → 5 x − y − 2z + 2 =

Obtenemos los planos bisectores de los ángulos diedros formados por π y σ. Los planos obtenidos son perpendiculares entre sí y se cortan en la misma recta que π y σ. Ejercicio nº 4.Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio tales que su distancia al punto Q(1, 0, 0) es 3. Identifica la figura resultante.

3

Solución:Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, Q) = 3; es decir:

( x − 1)

2

+ y 2 + z2 = 3 →

( x − 1)

2

+ y 2 + z2 = 9

Es una esfera de centro (1, 0, 0) y radio 3.

Ejercicio nº 5Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(−2, 0, 0) y B(2, 0, 0) es 106. Identifica la figura resultante....