Límite Matemático

Límite matemático
En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptosfundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidospor dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden serlas redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Índice
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1Límite de una sucesión
2Límite de una función
2.1Importancia
2.2Límites laterales
3Límitede una sucesión de conjuntos
4Límite en espacios topológicos
4.1Redes
4.2Filtros
5Límite de Banach
6Límites en teoría de categorías
7Véase también
8Referencias
8.1Bibliografía
8.2Enlaces externos
Límite de una sucesión[editar]

La sucesión  para converge al valor 0, como se puede prever en la ilustración.
Artículo principal: Límite de una sucesión
La definición de límite matemático para el caso deuna sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición dellímite de una función cuando  tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge oes convergente (a ), y se denota como:

si y solo si paratodo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural  tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural  mayor que  converjan a cuando  crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
 
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesiónes divergente.
Límite de una función[editar]

Visualización en un sistema decoordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro deunintervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintosespacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si sepuede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si paratodo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de xy L es menor que ε unidades".
Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

Para la función f(x)...