Límites de Funciones

Definición de Límite
En matemática, el límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que losparámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales deconvergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?
(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa queno podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
x
(x2-1)/(x-1)
0.5
1.50000
0.9
1.90000
0.99
1.99000
0.999
1.99900
0.9999
1.99990
0.999991.99999
...
...
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Y con símbolos se escribe:

Deespañol a matemáticas
Vamos a decirlo primero en español:
"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"
Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir
"f(x) seacerca a L cuando x se acerca a a"
 

Calculando "cerca"
A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?
Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01 
Ejemplo 2: 3.8 -4 = -0.2 
Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valorabsoluto.
"Qué tan cerca" = |a-b|
Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01 
Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2 
Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:
"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| espequeño"
Que pasa con la función:
f(x) = (x2 - 1) / (x-1)
cuando x se acerca a a=1,
f(x) se acerca a L=2
Así que
|f(x)-2| es pequeño
cuando |x-1| es pequeño.
Delta y epsilon
Pero "pequeño"...