Lógica de enunciados

Lógica - FCE

LOGICA DE ENUNCIADOS

1. El lenguaje de enunciados
Si se restringe el lenguaje de primer orden (o lenguaje de predicados)
eliminando los cuantificadores y se toma como ultima unidad de análisis enunciados
(fórmulas cerradas) atómicos, se obtiene el lenguaje de enunciados (abreviado LE). En
el lenguaje de enunciados los únicos símbolos lógicos son las conectivas. La lógicaque
descansa exclusivamente en las conectivas recibe el nombre de Lógica de enunciados.
Así, pueden distinguirse en LE las siguientes categorías de símbolos
1.1 Símbolos descriptivos: Serán los símbolos para enunciados: p, q, r, s, t (o con
subíndices p1, p2, p3, etc., de modo de tener una cantidad potencialmente ilimitada de3
símbolos). Estos símbolos son llamados letras esquemáticas o a vecesvariables de
enunciados.
1.2. Símbolos lógicos. Serán las conectivas: conjunción, & ("y"), disyunción, ∨
("o"), condicional, → ("si ... entonces"), negación, ¬ ("no"). Estos símbolos
vinculan enunciados, o, más en general, sirven para obtener nuevos enunciados, más
complejos, a partir de otros dados.
1.3 Observaciones.
(a) Los símbolos de enunciados p, q, r, etc. se usan para referirse aenunciados que no
contienen conectivas (enunciados atómicos como se los llamará).
(b) La negación se aplica a una sola fórmula, de ahí que se la llame una conectiva
unaria, o de aridad 1. Las demás conectivas son binarias, o de aridad 2.
1.4. Símbolos auxiliares. Para construir expresiones se emplearán además, una serie de
símbolos que no tienen significado especificado, sino que son sóloauxiliares:
paréntesis, corchetes, puntos y comas. Los paréntesis “(“ y “)” son, en rigor, también
símbolos del LE.
15. Variables metalingüísticas. Las letras A, B, C, D y E se emplearan como variables
metalingüísticas de fórmulas (eventualmente con subíndices).
1.6. Fórmulas de LE.
(a) los símbolos para enunciados: p, q, r, s, t (o con subíndices p1, p2, p3, etc.) son

fórmulas de LE
(b) SiA y B son fórmulas de LE, entonces (A&B), (A∨B), (A → B) y (¬A) son fórmulas de LE.
(c) Sólo son fórmulas de LPO las construidas según las cláusulas (a) y (b).

1.6.1. Ejemplos de fórmulas de LE. Los siguientes son casos de fórmulas de LE: (¬(p) & q),
(((p&q) ∨ q) → s), ¬(¬(q → (s&r))).

1.7. Símbolos definidos de LE. Existen otros símbolos lógicos, que pueden definirse
mediante los dados.Uno de ellos es el bicondicional:
(D↔) (A ↔ B) =df ((A → B) & (B → A)),
que se lee como “si y sólo si”. (El símbolo “=df” es una manera de abreviar la expresión
metalingüística “es igual por definición”.) También se puede definir otro símbolo, w,
que representa la disyunción exclusiva, generalmente expresada como “o bien, ..., o
bien” y que se define como
(Dw) (A w B) =df ((A&¬B) ∨ (¬A&B)).1.8. Más observaciones.
1.8.1. Convención acerca del uso de paréntesis. A los efectos prácticos de simplificar la
simbolización en LPO, se aceptará la convención siguiente. Los símbolos ¬, &, ∨, →,
↔ para las conectivas vinculan fórmulas de manera más fuerte en ese orden, de modo
que pueden ahorrarse aplicaciones de paréntesis. Asimismo, pueden omitirse los
paréntesis externos. Por ejemplo,en vez de escribir ((¬(A)&B) → C), se escribirá
¬A&B → C; en vez de (A ∨ (B & ¬(C))) se escribirá A ∨ B&¬C, pero en ((A → B) &
¬(B ∨ C)) únicamente se pueden eliminar los paréntesis exteriores, obteniéndose la
fórmula (A → B) & ¬(B ∨ C) . En lo que sigue se hará uso de esta convención, de
modo de facilitar la escritura.
1.8.2. Concepto de subfórmula. Si ¬A, A&B, A∨ B, A→B y A↔B son fórmulasde
LPO, entonces A y B son subfórmulas de esas fórmulas.
1.8.3. Fórmulas atómicas y moleculares.
(a) Aquellas fórmulas que no contienen apariciones conectivas se llaman fórmulas
atómicas.
(b) Se llama símbolo principal de una fórmula de LE a la conectiva que vincula sus
subfórmulas inmediatas.
(c) Una fórmula es llamada molecular, si tiene al menos una conectiva.
1.8.4. El condicional....