Método De Diferencias Finitas

Método de Diferencias Finitas

El método de e las diferencias finitas sirve para aproximar la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, las cuales van por lo general acompañadas de
condiciones iniciales o de frontera.
Mediante un proceso de discretización, el conjunto infinito de números que representan la
función o funciones incógnitas en el continuo, esreemplazado por un número finito de
parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación.

Entre las formas de discretización esta: el método de los elementos finitos, método de volúmenes
finitos, método de diferencias finitas (1-D, 2-D, 3-D, 4-D), etc.

1DIFERENCIAS FINITAS EN 1-D (UNIDIMENSIONAL)

Si deseamos determinar la función ( ) que satisface una ecuacióndiferencial en un dominio
determinado, junto a condiciones de iniciales del problema. Se tiene que empezar por
diferenciar la variable independiente , para después construir una grilla o malla, con puntos
discretos igualmente espaciados, sobre el dominio establecido. Después se debe reemplazar
aquellos términos en la ecuación diferencial que involucren diferenciación por términos que
contenganoperaciones algebraicas. Este proceso trae implícito una aproximación y puede
efectuarse mediante la utilización de aproximación en diferencias finitas para las derivadas en
una función.
Aproximaciones de derivadas mediante diferencias finitas (o formulas de discretización)
ó

ó

Aproximación en diferencias hacia adelante o forward difference de la primera derivada de
una función:
:

=

ℎ2

()≤

:

ℎ
2

( )≈
,

( + ℎ) − ( )
ℎ
= max |

( )|

Aproximación en diferencias hacia atrás o backward difference de la primera derivada de
una función:
:

( )≈

( ) − ( − ℎ)
ℎ

:

ó

ó

=

ℎ
2

()≤

ℎ
2

,

= max |

( )|

Aproximación de diferencia central o central difference de la primera derivada de una
función:
:

=

ℎ
6

:

( +ℎ) − ( − ℎ)
2ℎ

( )≈

′( ) ≤

ℎ
6

,

= max |

( )|

Aproximación a la segunda derivada de una función:
:

=

ℎ
12

Demostraciones:

()≤

:

ℎ
12

,

( )≈

( + ℎ) − 2 ( ) + ( − ℎ)
ℎ
= max |

( )|

Diferencias hacia adelante:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:
( + ℎ) = ( ) + ℎ ( ) +
( + ℎ) − ( ) ℎ
−
2
ℎ
()≈

ℎ
2

( )=

( + ℎ) − ( )
,
ℎ

Diferencias hacia atrás:

=

()

()
ℎ
2

()

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:
( − ℎ) = ( ) − ℎ ( ) +
( ) − ( − ℎ) ℎ
+
ℎ
2
( )≈

ℎ
2

( )=

( ) − ( − ℎ)
,
ℎ

=

()

()
ℎ
2

()

Diferencia central:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercerorden, para

(1)

(2)

ℎ
2
ℎ
( − ℎ) = ( ) − ℎ ( ) +
2

ℎ
6
ℎ
( )−
6

( + ℎ) = ( ) + ℎ ( ) +

Si restamos (1)-(2), se obtiene:

( + ℎ) − ( − ℎ) = 2ℎ ( ) +

( + ℎ) − ( − ℎ ) ℎ
−
2ℎ
6
( )≈

ℎ
6

( )=

( + ℎ) − ( − ℎ)
,
2ℎ

( )+

()

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden, para

(2)

ℎ
2
ℎ
( − ℎ) = ( ) − ℎ ( ) +
2
( +ℎ) = ( ) + ℎ ( ) +

Si sumamos (1) + (2), se obtiene:
( + ℎ) + ( − ℎ ) = 2 ( ) + ℎ

( + ℎ) − 2 ( ) + ( − ℎ ) ℎ
−
ℎ
12
( )≈

ℎ
6
ℎ
( )−
6

ℎ
24
ℎ
( )+
24

( )+

( )+

( )+

ℎ
(
24

( )=

( + ℎ) − 2 ( ) + ( − ℎ)
,
ℎ

+ℎ y

− ℎ:

()

′( )

Diferencia para la segunda derivada:

(1)

− ℎ:

()

( )+

ℎ
6

=

()

+ℎ y

( )+

()

=ℎ
12

()

()

()
( ))

Ejercicios:
Ejercicios:

1) Determine

,

Sol:

= − + 1,
(0,1)
(0) = 1; (1) = 1 +

de:

Se puede observar que esta ecuación diferencial es de primer orden, por lo que podemos usar
una de las discretizaciones para la primera derivada de una función.
Según los datos podemos hacer un bosquejo grafico, dándonos un espaciamiento de 0.25:
Se tomará...