Diferencias Finitas

DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES ELÍPTICAS.
Julián Camilo Mejía, Juan Sebastián Tamayo A.
Facultad de Ingeniería y Arquitectura. Departamento de ingeniería Química.
Curso de fenómenos de transferencia.
Universidad Nacional de Colombia sede Manizales.
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Problema
Encontrar la distribución de temperaturas de una placaplana usando el método numérico de diferencias finitas con condición de aislamiento, la placa es calentada a diferentes temperaturas y con una condición de frontera fijas en el extremo inferior aislado. Como se ve en la figura (1)
Figura (1)
Introducción.
Las ecuaciones elípticas se usan comúnmente para caracterizar problemas en estado estacionario con valores en la frontera.
Figura (2).
Enla figura (2) se muestra un elemento sobre la cara de una placa rectangular delgada de espesor .La placa está totalmente aislada excepto en sus extremos, donde la temperatura puede ajustarse a un nivel preestablecido. El aislamiento y el espesor de la placa permiten que la transferencia de calor este limitada Solamente a las dimensiones y .En estado estacionario, el flujo de calor hacia elelemento en una unidad de tiempo debe ser igual al flujo de salida, es decir,
(1)
Donde y son iguales a los flujos de calor en y respectivamente .
Dividiendo entre y , y reagrupando términos, se obtiene
(2)
Multiplicando el primer termino por , y el segundo por se obtiene(3)
Dividiendo entre , y tomando el limite se llega a
(4)
La ecuación (4) es una ecuación diferencial parcial, que es una expresión de la conservación de la energía en la placa. Sin embargo laecuación no puede resolverse a menos que se especifiquen los flujos de calor en los extremos de la placa. Debido a que se dan condiciones de frontera para la temperatura la ecuación (4) se debe reformular en términos de la temperatura. La relación entre flujo y temperatura está dada por la ley de Furier de conducción de calor, la cual se expresa como(5)
Donde es igual al flujo de calor en la dirección de la dimensión i , k es igual al coeficiente de difusividad térmica , es igual a la densidad del material , C es igual a la capacidad calorífica del material y T es la temperatura , que se define como(6)
Donde calor y volumen .
Sustituyendo la ecuación (5) en la (4) se obtiene
(7)
Que es la ecuación de Laplace.
Técnica de solución:
Figura (3).
En lasolución numérica, las representaciones por diferencias finitas basadas en tratar la placa como una malla de puntos discretos figura (3) se sustituyen por derivadas parciales en la ecuación (7).
Las diferencia centrales basadas en la figura (3) son
(8)
Y(9)
Las cuales tiene errores de y , respectivamente. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (7) se obtiene
(10)
En la malla cuadrada de la figura (2),, y reagrupando términos, la ecuación se convierte en...