Método de Newton-Raphson

Asignatura:

Matemáticas I

“MÉTODO DE NEWTON Y
MÉTODO DE LA SECANTE”


1-PRESENTACIÓN DEL EJERCICIO
En este ejercicio se nos propone el cálculo de raíces irracionales, para ello deberemos trabajar con
dos métodos de aproximación con el que podemos obtener un resultado muy bueno, pero para ello
primero debo contar con la función que necesito para trabajar. Tiene la siguiente forma:2
x
x
f ( x )=( +b) argtanh +c
a
a
Esta función la conseguimos introduciendo los comandos que nos ha proporcionado el profesor y
con el numero de identificación personal del alumno (En mi caso: 569848), con éstos comandos el
ordenador nos devolverá unos números al azar según el NIP, mis números son:
a:8 b:7 n:1
Conociendo éstos números ya puedo calcular las constantes que aparecen en lafunción:

a= 9 ; b=

4
; c= -1
5

Por tanto la función con la que trabajaremos será:
x 5 2
x
f (x )=( + ) argtanh −1
9 5
9
Al dibujar la gráfica del la función con la que trabajamos en el intervalo que se nos pide(-9,9),
obtenemos el siguiente resultado dónde el morado representa f(x) y el azul representa el punto P (la
raíz de la función):

Comprobamos que se puede emplear elmétodo de Newton-Raphson al ser la derivada segunda de
la función continua en un entorno de la raíz ( intervalo (2,6)):

Y comprobamos que la derivada primera de la función no corta al eje OX en el punto P:

Una vez comprobado esto ya podemos proceder a utilizar el método de Newton-Raphson

2-RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Vamos a resolver el ejercicio mediante dos métodos,el primero de ellos será el método de NewtonRaphson. Éste consiste en ir haciendo aproximaciones sucesivas “bajando” por la tangente de la
función hasta acercarse lo suficiente a la raíz buscada, es decir, se toma un punto en el eje de
abscisas, se calcula la recta tangente a la función en ese punto y dónde corte con el eje OX se
encontrará nuestro nuevo punto para repetir el proceso. Elmétodo nos dará un resultado muy
aproximado si elegimos un punto inicial (P0) adecuado.

Amplío la zona cercana a la raíz para observar mejor el proceso:

De esta forma elegimos el punto P0( cuando “x” toma como valor 8,9).
En ese punto se calcula la recta tangente a la función (Para este proceso me he servido de la ayuda
de un programa de dibujo de gráficas llamado GRAPH, lo he utilizado parael trazado de las rectas
tangentes a la función en un punto):
y 0=17,1211 · x−145,0775
Calculamos el punto de corte de esta recta con el eje OX, denominamos a este punto “P1”
145,0775
0=17,1211· P 1−145,0775 => P 1=
=8,473608588
17,1211
En ese punto P1 repetimos la operación calculando la recta tangente:
y 1=3,6453 · x−26,5778
Calculamos el punto de corte con el eje de abscisasdenominándolo P2:
26,5778
0=3,6453· P 2 −26,5778 => P 2=
=7,290977423
3,6453
Volvemos a repetir las operaciones anteriores
y 2=1,2414 · x−7,1284
Punto de corte (P3) con el eje OX:
7,1284
0=1,2414 · P 3−7,1284 => P 3=
=5,742226518
1,2414
La siguiente recta tangente tiene la forma:
y 3=0,6287 · x−3,0494
Al calcular éste punto de corte con el eje OX obtenemos:
3,0494
0=0,6287 · P 4−3,0494 =>P 4=
=4,84032607
0,6287
Volvemos a calcularlo pero llegamos a un punto que trabajamos con valores tan pequeños que son
inapreciables en la gráfica:
2,1434
y 4=0,4585· x−2,1434 ; 0=0,4585· P 5−2,1434 => P 5=
=4,67480916
0,4585
y 5=0,4337 · x−2,0253 ; 0=0,4337 · P6 −2,0253 =>

P 6=

2,0253
=4,669817846
0,4337

y 6=0,4329 · x−2,0219 ; 0=0,4329 · P7 −2,0219 =>

P 7=

2,0219=4,670593671
0,4329

Si repetimos este proceso sucesivamente acabamos alcanzando el punto:
P≈4.670282798326145
Este es el punto (muy aproximado) donde la función corta con el eje de abscisas, es decir, su raíz.

Error de las aproximaciones en el método de Newton-Raphson
Ahora definimos e i=∣P i−P i−1∣ para i=1,2 , , , , , n−1 de esta forma calculamos e 1 , e 2 ,e 3 ...:
e 1=∣P 1−...