Método Gráfico

Método Gráfico
El procedimiento geométrico, es únicamente adecuado para resolver problemas muy pequeños (con no más de dos variables debido al problema de dimensionalidad). Este método provee una gran introducción a los problemas de Programación Lineal. Considere el problema siguiente: Min Z =Cx Sujeto a: Ax > b X b ( Zona de soluciones factibles, es decir todos los valores de xl y x2 quesatisfagan a las restricciones Ax > b) y x > O. Entre tales puntos deseamos encontrar un punto con mínimo valor Cx. Z = Cx = Σ, ; c x = 1, 2 ,. . . ,n (n = No. de variables) j Si Z va a ser minimizada, entonces una vez establecida la región factible, la correspondiente recta de Z = Cx es deslizada paralelamente a si misma en la dirección que optimice (minimice) más el valor del objetivo. En la figura 1se muestra un ejemplo del método gráfico. 6

Z Optima X1 + X2 ≤ 5 Z1 -X1 + 2X2 ≤ 6 6 Figura 1

Punto óptimo

Región factible

La región factible es la encerrada en el recuadro formado por las rectas x >_O, y > O, xl + xl O, y > 0, 3xl + 5x2 ≤ 15 y 5x1+ 2x2 ≤ 10. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =2.5 hacia la esquina superior derecha, alcanzándose el óptimoen el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto ocurre sobre la recta 5x1+ 2x2 ≤10 cuando Z =1O desde x =2 hasta el punto en el cruce de las ecuaciones S x l + 2x2 ≤10 y 3xl + 5x2 ≤ 15. Existiendo por esto una zona de soluciones múltiples. A continuación se presenta en la figura 5 el mismo caso usando la •región es ilimitada ( No Acotada ).Max Z = 2X2 – X1

Sujeto a: Xl - X2 >-l 5X1 + X2 < 2 X’s > O Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos;

Ecuación 1 X1 0 -1 X2 1 0

Ecuación 2 X1 0 -4 X2 2 0

Z0 = 2 X1 0 -2 X2
1

Z1 = 4 X1 0 -4 X2 2 0

0

X2 4 -5x1 +2X2 ≤ 2 Z optima
Tramo de sol. Optimas

X1 - X2 ≥ -1

Z1

Región factible

X1 4 Figura 5 La región factible esta acotada porlas rectas x > 0, y > O, xlx2 > -l y - 5x1 +x2 _ 2, pero no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una región factible ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =2 hacia la esquina superior izquierda, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto ocurre cuando Z =4sobre la línea de la ecuación –5x1 +x2 < 2, desde el punto donde se cruzan las ecuaciones xl-x2 > -l y -. 5x1+ x2 < 2 hasta el infinito.

Solución Optima Ilimitada Esto sucede cuando la región es factible y la línea correspondiente de

la Función Objetivo Z va optimizándose conforme se desplaza. Su valor cada vez va mejorando y debido al comportamiento de la función de Z y a que la región esilimitada este valor tiende a mejorar infinitamente. La figura 6 muestra una gráfica en la que se aprecia como avanza la línea de Z indefinidamente debido a su pendiente y a que la región de soluciones factibles no esta acotada en su lado derecho.

Ecuación 1 X1 0 -1 X2 1 0

Ecuación 2 X1 0 -4 X2 2 0 X2 Z1 Z2 4

Z0 = 2.5 X1 0 2 X2
1

Z1 = 5 X1 0 4 X2 2 0

0

X1 - X2 ≥ -1

23Región factible ilimitada Solución ilimitada Región factible X1 Figura 6 La región factible esta acotada por las rectas x > 0, y > O, x1x1 – x2 > -l y 5xl + x2 < 2, pero no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una región factible ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =2 hacia la esquina superior derecha, alcanzándose el óptimo en el punto últimoque toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto no ocurre en ningún punto ya que en sobre la recta de la ecuación -. 5x1 + x2 _ 2 y a partir del cruce de las ecuaciones xl-x2 _ -l y -. Sxl + x2 _ 2 conforme el valor de Z se optimiza(crece), la recta de la función objetivo Z se desplaza hacia la derecha y como la región esta ilimitada por este lado siempre...