Metodo grafico

METODO GRÁFICO
Es un método que se utiliza para la solución de programas lineales con dos variables. Los pasos
para resolver un problema por medio del método gráfico son los siguientes:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
2. Encontrar el valor de una variable de decisión cuando la otra variable asume un valor
de cero y viceversa. En otras palabreas ,encontrar en cada una de lasrestricciones, el
valor de X cuando X es cero, y encontrar el valor de X cuando Xes cero
3. Elaborar la grafica de cada una de las restricciones.
4. Encontrar los valores de los puntos localizados en los vértices de la región factible.
5. Valuar los puntos obtenidos en el paso 4, en la función objetivo.
6. Determinar cuál de los puntos optimiza la función objetivo. Tomando en cuenta que siestamos maximizando tomamos el mayor valor, y si estamos minimizando tomamos el
menor valor.
Ejemplo No.1
Una pastelería desea elaborar dos tipos de pastel (chocolate y vainilla), cada pastel de
chocolate representa un beneficio de Q. 3.00 y cada pastel de vainilla representa un beneficio
de Q. 2.00. Se disponen de 3 ingredientes para la elaboración de los mismos (A, B y C); para laelaboración de los pasteles de chocolate se requieren, 2 unidades de A, 2 unidades de B y 3
unidades de C. Mientras que para la elaboración de los pasteles de vainilla se requiere 1
unidad de A, 3 unidades de B y 1 unidad de C. La cantidad máxima de cada uno de los
ingredientes es de 18 unidades para el ingrediente A, 42 para el B y 24 para el C. Plantear un
modelo de programación lineal y resolvermediante método gráfico, para que el beneficio sea
máximo
Solución
Resolver mediante el método gráfico el siguiente problema:
Maximizar X = 3x + 2y
sujeto a: 2X + X ≤ 18
2X + 3X ≤ 42
3X +X ≤ 24
X ≥ 0
Paso 1.
Convertir las desigualdades en igualdades
2X + X = 18
2X + 3X = 42
3X +X = 24
Paso 2.
Encontrar los puntos de cada una de las restricciones, haciendo 0 cada uno de losvalores de X,
obtendríamos lo siguiente:
Para la restricción 1 Para la restricción 2 Para la restricción 3
X = 0 X = 18 X = 0 X = 14 X = 0 X = 24
X = 9 X = 0 X = 21 X = 0 X = 8 X = 0
Paso 3.
Procedemos a trazar cada uno de los puntos en un gráfico. Limitando cada una de las áreas con
las restricciones del problema, en este caso obtendríamos lo siguiente. Y se puede apreciarque la función factible es la que se encuentra en color naranja. En este caso clocamos X en el
vértice horizontal, y X en el eje vertical
Paso 4.
Se procede a buscar los puntos en los vértices de la región factible.
En este caso obtenemos que los puntos son los siguientes:
(0,0), (0,14), (3,12), (6,6), (8,0)
Donde podemos ver que el punto 1, 2 y 5 se pueden encontrar fácilmente en lagráfica. Para el
punto (3,12) y (6,6) se procede a resolver las ecuaciones de la siguiente manera:
Para el primer punto existe intersección entre la ecuación 1 y 2, por los que vamos a trabajar
solamente entre dichas ecuaciones.
De la ecuación 1 despejamos X y obtenemos X = 9 – 0.5X
Substituimos X en X de la ecuación 2, ya que entre estas 2 rectas existe la intersección.
Tenemos 2X+3X=42 porlo que tenemos 2(9-0.5X) + 3X = 42, operando tenemos 18 - X +
3X = 42
2X = 24
X = 12
Substituimos X en la ecuación 1 despejada y obtenemos X = 9 – 6 X = 3
De acá obtenemos el punto (3,12)
Para el segundo punto existe intersección entre la ecuación 1 y 3, por los que vamos a trabajar
solamente entre dichas ecuaciones.
De la ecuación 1 despejamos X y obtenemos X = 9 – 0.5XSubstituimos X en X de la ecuación 3, ya que entre estas 2 rectas existe la intersección.
Tenemos 3X + X = 24 por lo que tenemos 3(9-0.5X) + X = 24, operando tenemos 27– 1.5X
+ X = 24
-0.5X = -3 X = 6
Substituimos X en la ecuación 1 despejada y obtenemos X = 9 – 3 X = 6
De acá obtenemos el punto (6,6)
Paso 5.
Operamos cada uno de los puntos obtenidos en la función objetivo...