Método Rayleigh-Ritz.

Índice:

1. Definición del método
2. Desarrollo teórico
3. Ejemplo práctico
4. Aplicaciones del método
5. Limitaciones del método
6. Referencias

1. Definición del método

La solución de un problema diferencial de orden n, consiste en encontrar la función u válida para todo el dominio Ω y que verifique las condiciones de contorno.

El métodopropone la solución aproximada para resolver dicho problema. Ésta aproximación está basada en el método de separación de variables ( p.e u es la variable dependiente de la variable independiente x) y en la idea de que una función continua puede ser expresada como combinación lineal de un número grande de funciones, por ejemplo:

[pic]

Las funciones [pic] son llamadas funciones de Ritz y debencumplir con las siguientes condiciones:

❖ Deben verificar las condiciones de contorno esenciales.
❖ Deben ser continuas y diferenciables para todo dominio el dominio Ω y de un orden igual o superior al de los operadores diferenciales presentes en las ecuaciones.
❖ Si el número m de funciones de Ritz tiende a infinito la solución aproximada tiende a la solución exacta.

1.Método de Rayleigh-Ritz

El método Rayleigh-Ritz está basado en la formulación débil y en las condiciones de contorno de una EDO, además incluye una nueva condición, y es que, las funciones de ponderación deben ser funciones de aproximación.

[pic]

Consideremos la ecuación diferencial de orden 2, con el intervalo de trabajo (0 < x < L)

(siendo u y x, las variables dependientee independiente respectivamente).

Y cuyas condiciones de contorno son:

En base a la aplicación teórica del método, vamos a buscar una solución aproximada. La aproximación que utilizaremos es la siguiente:

1º PARTE: Obtención de la forma débil de la EDO

Esta primera parte consta de tres etapas:

1. Formulación integral ponderada.

Buscamos [pic] de tal forma que verifique laintegral en el dominio en el residuo (R), por una función w que va a ser una función de ponderación.

Agrupando todos los términos de nuestro problema a un lado, obtenemos la expresión del residuo.

[pic]

[pic]

2. Integración por partes

Para rebajar el orden de derivación que aparece en la ecuación diferencial, aplicamos integración por partes.

Para hacer la integralpor partes, separamos la integral y nos quedarían dos sumandos, donde el segundo de ellos es el producto de w por [pic].

Sobre el primer sumando aplicamos la integración por partes, donde [pic] y [pic]. Obteniendo como integral final:

[pic]

Hemos conseguido rebajar en uno el orden de derivación. Ahora tenemos el término de contorno [pic]. Este término nos dice cuál es lavariable primaria del problema diferencial en este caso u. Este término también nos indica que una condición de contorno es una condición esencial.
Nombrando la variable secundaria [pic]. Una condición de contorno en Q es una condición natural.
Reescribimos la ecuación de antes y evaluándola en los límites de la integral, obtenemos la ecuación débil de la EDO:

[pic]..

3. Condicionesde contornno.

Introduciendo esto en la formulación débil de la EDO:

2º PARTE: Aproximación mediante método Rayleigh-Ritz

En el método de Rayleigh-Ritz, las funciones de ponderación son iguales a las funciones de aproximación, es decir, hacemos [pic], (i=1,2,…, N).
Tenemos como resultado estas dos ecuaciones:

[pic]

El siguiente paso es determinar los [pic], teniendo encuenta que tanto [pic] como [pic] deben cumplir las condiciones de contorno esenciales, que son las siguientes:

[pic]
[pic]
Tomamos como función [pic]
[pic]
Podemos ver que en x=0 verifica la condición primaria.
Introduciendo esta nueva expresión de [pic] en la integral y derivando, llegamos a:
[pic]
Construimos un sistema de ecuaciones linealmente...