Métodos De Solución Cuando El Coeficiente De Difusión Es Constante

MÉTODOS DE SOLUCIÓN CUANDO EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN ES CONSTANTE

2.1 Tipos de solución
Las soluciones GENERALES de la ecuación de difusión pueden ser obtenidas para una variedad de condiciones iníciales y divisorias por ello el coeficiente de difusión es constante. Por lo general tal solución tiene una o dos formas estándar. Tampoco es comprendido de una serie de funciones de error ointegrales relacionadas, en este caso es lo más conveniente para la evaluación numérica en pequeñas veces, en las primeras etapas de difusión. Cuando la difusión ocurre en un cilindro la serie trigonométrica es substituido por una serie de funciones Bessel. De los tres métodos de solución descrita en este capítulo, los primeros dos ilustran la importancia física de los dos tipos estándar de solución.El tercero, empleo el transforme Laplace, es esencialmente un método de operador por el cual ambos tipos de solución pueden ser obtenidos. Es lo más poderoso de los tres, en particular para problemas más complicados. Los métodos son presentados aquí tan simplemente como posibles. Los tratamientos más necesarios para hacer la discusión matemáticamente deben ser encontrados como trabajos sobre laconducción de calor, p.ej. Carslaw y Jaeger (1959).
2.2 Método de reflexión y superposición
2.2.1 Fuente plana
Es fácil ver por diferenciación

donde A es un constante arbitrario, la solución es:

que es una ecuación para difusión en una dimensión, cuando D es constante. La expresión (2.1) es simétrica con respecto a x=0, tiende a ser cero x positivamente o negativamente para t>0, y parat=0, esto desaparece en todas partes excepto en x=0, donde se hace infinito. La cantidad total de sustancia M que se difunde en un cilindro de longitud infinita y el corte transversal de unidad dado por:

y si la distribución de concentración es la de expresión (2.1) que nosotros vemos, se sobre escribe

Esto

La expresión (2.5) muestra que la cantidad de sustancia que difunde restosconstantes e iguales a la cantidad original depositada en el plano x=0. Asi, sustituyendo A de la ecuación (2.5) en la ecuación (2.1), obtenemos.

y esto es por lo tanto la solución que describe la extensión por difusión en una cantidad de sustancia M depositada en un tiempo t=0 y en el plano x=0. La Fig. 2.1 muestra distribuciones típicas en tres tiempos sucesivos.

Fig 2.1.Concentracion-distacion de curvas para una fuente instantánea plana. Los números sobre curvas son los valores de Dt.
2.2.2 Reflexión en un límite
La expresión (2,6) se puede utilizar para construir soluciones de otros problemas en flujo lineal mediante la introducción del concepto de reflexión en un límite. Así pues, en el problema que acabamos de considerar, el medio difusor de la sustancia se mueve en ladirección de x positivos y la otra mitad a lo largo de x negativos. Sin embargo, tenemos un cilindro semi-infinito que se extiende sobre la región x>0 y con un impermeable límite en x=0, toda la difusión tiene lugar en la dirección de x positivos. Se puede considerar que la solución para x negativos que se refleja en el plano x=0 y superpuesta sobre la distribución original en la región x>0. Desdela solución original fue simétrica en torno de x=0, la distribución de la concentración para el cilindro semi-infinito está dada por

Este procedimiento de la reflexión y la superposición es matemáticamente, para la reflexión en x=0 significa la adición de dos soluciones de la ecuación de difusión. Dado que esta ecuación es lineal la suma de las dos soluciones en sí es una solución, y se ve que(2,7) satisface la condición de que la cantidad total de sustancia de difusión se mantiene constante en M. Además, la condición se satisfaga en el límite es impermeable

ya que esta es la condición matemática para un flujo de cero a través de una frontera. Como ∂C∂x es cero en x=0 en la solución original (2,6), es evidente que aún cero después de la reflexión y de superposición.
2.2.3...