Mínimos Cuadrados. Programa

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS
EXTRACTIVAS








ÍNDICE

OBJETIVOS 3
MARCO TEÓRICO 3
PROBLEMA A RESOLVER 3
Ley de Arrhenius 3
MÉTODO A RESOLVER 5
Aproximación Polinomial con Mínimos Cuadrados 5
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 7
PROGRAMA 9
CÓDIGO 9
CAPTURAS DE PANTALLA 11
CONCLUSIONES 13
BIBLIOGRAFÍA 13OBJETIVOS

Desarrollar habilidades para la utilización de métodos numéricos, en este caso, aproximación polinomial con mínimos cuadrados.

Reconocer la importancia de utilizar dicho método.

Aplicar aproximación polinomial con mínimos cuadrados a la resolución de problemas reales.

Relacionar los métodos numéricos con algún lenguaje de programación.
MARCO TEÓRICO

PROBLEMA ARESOLVER
Ley de Arrhenius
En 1889, Arrhenius descubrió que la dependencia de muchas reacciones como función de la temperatura se podía describir mediante la siguiente ecuación:
(1)
Donde k es la constante de rapidez, A es el denominado factor de frecuencia o factor pre exponencial, Ea es la energía de activación (kJ mol-1), R es la constante de los gases y T es la temperatura absoluta. Laenergía de activación es la mínima cantidad de energía que se requiere para iniciar una reacción química. El factor de frecuencia, A representa la frecuencia de las colisiones entre las moléculas reactivas. El factor exp(-Ea/RT) se parece a la ley de distribución de Boltzman, que representa la fracción de las colisiones moleculares con energía igual o mayor que la energía de activación Ea (Figura 1).Debido a que el término exponencial es un número, las unidades de A son las mismas unidades de la constante de rapidez (s-1 para las constantes de rapidez de primer orden; M-1 s-1 para las constantes de rapidez de segundo orden, y así sucesivamente).













Figura 1. Diagrama esquemático de la energía de activación de una reacción exotérmica
Debido a que el factor defrecuencia A está relacionado con las colisiones moleculares, depende de la temperatura. Sin embargo, en un intervalo limitado de temperatura (≤ 50 K), la variación predominante de la temperatura está considerada en el término exponencial. Al aplicar el logaritmo natural a la ecuación (1), obtenemos:
(2)
Donde k y A se consideran como cantidades adimensionales. De esta manera, un gráfico de ln kcontra 1/T, da lugar a una línea recta cuya pendiente, que es negativa, es igual a -Ea/R (Figura 2).









Figura 2. Gráfica de ln k contra 1/T. La pendiente de la línea recta es igual a –Ea/R.
De esta manera alternativa, si se conocen las constantes de rapidez k1 y k2 y T1 y T2 se tiene, a partir de la ecuación (2):


Si restamos estas dos ecuaciones, obtenemos:
(3)
Laecuación (3) permite calcular la constante de rapidez a diferentes temperaturas, si se conoce Ea.
Desde el punto de vista de la ecuación de Arrhenius, la comprensión completa de los factores que determinan la constante de rapidez de una reacción requiere que se puedan calcular ambos valores, A y Ea.
MÉTODO A RESOLVER
Aproximación Polinomial con Mínimos Cuadrados
Al encontrar un polinomio deaproximación que pase por los puntos dados en forma tabular encontramos errores significativos en la información, por ejemplo, cuando proviene de medidas físicas; en estas circunstancias no tiene sentido pasar por un polinomio de aproximación por los puntos dados, sino sólo cerca de ellos.
No obstante, esto crea un problema, ya que se puede pasar un número infinito de curvas entre los puntos. Paradeterminar la mejor curva se establece un criterio que la fije y una metodología que la determine. El criterio más común consiste en pedir que la suma de las distancias calculadas entre el valor de la función que aproxima p(xi) y el valor de la función f(xi) dada en la tabla sea mínima.

Para evitar problemas de derivabilidad más adelante, se acostumbra utilizar las distancias di elevadas al...