Minimos Cuadrados
Páginas: 4 (848 palabras)
Publicado: 31 de enero de 2016
Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados
Sea V un espacio vectorial normado y sea W un subespacio de V. Sea
función en V. Se desea hallar g*∈W tal que:
f ( x ) − g * ( x ) ≤ f ( x ) − g( x ) ;
∀g ∈Wf una
o bien
f ( x ) − g * ( x ) = min f ( x ) − g ( x ) ;
g ∈W
y=g*(x)
y=f (x)
b
a
Sea B = {ϕ0 ( x ), ϕ1( x ), ..., ϕn ( x ) } una base para W, entonces podemos expresar a
la función g* comouna combinación lineal de las funciones de B, esto es:
n
[1]
g* ( x) =
∑ α ϕ ( x)
;
i i
donde los coeficientes α i ∈ ℜ son las constantes a
i =0
calcular.
Usando la Norma_2 tendremos que:
1b
2
2
[ f ( x ) − g * ( x ) ] w( x )dx ; donde la función w(x) es una
[2]
f ( x) − g* ( x) 2 =
a
función de peso en [a, b]. Nuestro problema será encontrar las constantes α i ∈ ℜ tales
queminimicen [2]. Tomando w(x) = 1, sustituyendo [1] en [2] y desarrollando su
∫
cuadrado tenemos:
b
f ( x) − g* ( x)
2
2
b
2
n
= [ f ( x ) − g * ( x ) ] dx = f ( x ) −
α i ϕi ( x ) dx =
i=0
a
a
∫
2
∫
∑
2
n
n
2
= f ( x ) − 2f ( x )
αi ϕi ( x ) +
αi ϕi ( x ) dx =
i =0
i =0
a
b
∑
∫
b
b
=
∫
a
2
b
n
= f ( x ) dx − 2 f ( x )
α i ϕi ( x)dx +
αi ϕi ( x ) dx =
i =0
a
a
a i =0
b
b
b
n
n
2
2 2
f ( x ) dx − 2
α i f ( x ) ϕi ( x ) dx +
α i ϕi ( x ) dx + 2 (α 0 α1ϕ0 ( x ) ϕ1( x ) )dx +
i =0
i =0
a
a
a
∫
b
∑
n
∑
∫
2
∑ ∫
∫∑
∑∫
b
∫
b
∫
b
∫
∫
... + 2 (α i α i −1ϕi ( x ) ϕi −1( x ) )dx + 2 (α i α i +1ϕi ( x ) ϕi +1( x ) )dx + ... + 2 (αn −1αn ϕn −1( x ) ϕn ( x ) )dx
a
a
aDerivando parcialmente respecto a algún α i con i = 0,…,n, e igualando a cero
obtenemos:
∂
f ( x) − g* ( x)
∂α i
b
2
2
b
∫
= − 2 f ( x ) ϕi ( x ) dx + 2α i
a
∫
n
ϕi2 ( x ) dx
∑ α ϕ ( x ) ϕ ( x )dx =0
+2
j
j
i
j =0
j ≠i
a
Simplificando y reorganizando tenemos:
b
[3]
b
n
∫ f ( x ) ϕ ( x )dx = ∑ α ∫ ϕ ( x ) ϕ ( x )dx ;
i
j
j =0
a
j
i
∀i = 0,..., n
a
b
Sabemos que
f ,g...
Sea V un espacio vectorial normado y sea W un subespacio de V. Sea
función en V. Se desea hallar g*∈W tal que:
f ( x ) − g * ( x ) ≤ f ( x ) − g( x ) ;
∀g ∈Wf una
o bien
f ( x ) − g * ( x ) = min f ( x ) − g ( x ) ;
g ∈W
y=g*(x)
y=f (x)
b
a
Sea B = {ϕ0 ( x ), ϕ1( x ), ..., ϕn ( x ) } una base para W, entonces podemos expresar a
la función g* comouna combinación lineal de las funciones de B, esto es:
n
[1]
g* ( x) =
∑ α ϕ ( x)
;
i i
donde los coeficientes α i ∈ ℜ son las constantes a
i =0
calcular.
Usando la Norma_2 tendremos que:
1b
2
2
[ f ( x ) − g * ( x ) ] w( x )dx ; donde la función w(x) es una
[2]
f ( x) − g* ( x) 2 =
a
función de peso en [a, b]. Nuestro problema será encontrar las constantes α i ∈ ℜ tales
queminimicen [2]. Tomando w(x) = 1, sustituyendo [1] en [2] y desarrollando su
∫
cuadrado tenemos:
b
f ( x) − g* ( x)
2
2
b
2
n
= [ f ( x ) − g * ( x ) ] dx = f ( x ) −
α i ϕi ( x ) dx =
i=0
a
a
∫
2
∫
∑
2
n
n
2
= f ( x ) − 2f ( x )
αi ϕi ( x ) +
αi ϕi ( x ) dx =
i =0
i =0
a
b
∑
∫
b
b
=
∫
a
2
b
n
= f ( x ) dx − 2 f ( x )
α i ϕi ( x)dx +
αi ϕi ( x ) dx =
i =0
a
a
a i =0
b
b
b
n
n
2
2 2
f ( x ) dx − 2
α i f ( x ) ϕi ( x ) dx +
α i ϕi ( x ) dx + 2 (α 0 α1ϕ0 ( x ) ϕ1( x ) )dx +
i =0
i =0
a
a
a
∫
b
∑
n
∑
∫
2
∑ ∫
∫∑
∑∫
b
∫
b
∫
b
∫
∫
... + 2 (α i α i −1ϕi ( x ) ϕi −1( x ) )dx + 2 (α i α i +1ϕi ( x ) ϕi +1( x ) )dx + ... + 2 (αn −1αn ϕn −1( x ) ϕn ( x ) )dx
a
a
aDerivando parcialmente respecto a algún α i con i = 0,…,n, e igualando a cero
obtenemos:
∂
f ( x) − g* ( x)
∂α i
b
2
2
b
∫
= − 2 f ( x ) ϕi ( x ) dx + 2α i
a
∫
n
ϕi2 ( x ) dx
∑ α ϕ ( x ) ϕ ( x )dx =0
+2
j
j
i
j =0
j ≠i
a
Simplificando y reorganizando tenemos:
b
[3]
b
n
∫ f ( x ) ϕ ( x )dx = ∑ α ∫ ϕ ( x ) ϕ ( x )dx ;
i
j
j =0
a
j
i
∀i = 0,..., n
a
b
Sabemos que
f ,g...
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