minimos cuadrados

Proyecciones ortogonales y aproximaci´n discreta y
o
cont´
ınua

ETSIT-curso 2012/2013

Tema 6.- Proyecciones ortogonales y aproximaci´n discreta y cont
o

Introducci´n
o

Con el fin dedeterminar el valor de la constante g, la aceleraci´n causada
o
por la acci´n de la gravedad sobre la superficie de la Tierra, se lleva a cabo
o
un experimento en el cual se mide el tiempo quetarda en caer un objeto
desde un edificio a lo largo de alturas diferentes, midi´ndose el tiempo a
e
distancias prefijadas. Se obtienen los siguientes datos:
t(s)
y(m)

1.1
4.9

1.6
13.5

2.939

3.0
45

4.3
87.6

4.8
110

¿Cu´l es el valor de la aceleraci´n de la gravedad?
a
o
1
Vamos a suponer que y = a + bt + gt 2
2

Tema 6.- Proyecciones ortogonales y aproximaci´ndiscreta y cont
o

Introducci´n
o
Si se exige que todos los puntos cumplan la ecuaci´n se obtiene el
o
sistema

2

 y1 = a + bt1 + g t1




2



2

2
1 t1 t1

y1
t2
 y2 = a + bt2 + g


2 

2
 1 t2 t2  

  y2 



2






a
 1 t3 t 2 
 y3 = a + bt3 + g t3
 y3 
3  

 
2

2 ⇒
2  ·  b  =  y4 
 1t4 t4 

g


 y4 = a + bt4 + g t4



2
 y5 

2
 1 t5 t 2 




2
5 



 y5 = a + bt5 + g t5
2

y6
1 t6 t6
2



2

t6

 y6 = a + bt6 + g2
Sistema incompatible

Tema 6.- Proyecciones ortogonales y aproximaci´n discreta y cont
o

Introducci´n
o
C´lculo
a

6

Se minimiza

g

∑ (yi − a − bti − 2 ti2 )2

i=1

Seobtiene

g
2

= 4.5217

´
Algebra
Proyectamos sobre las columnas A (Teorema de la mejor aproximaci´n)
o

Tema 6.- Proyecciones ortogonales y aproximaci´n discreta y cont
o

Introducci´n
oSi hay n funciones funciones linealmente independientes se puede
ajustar un conjunto de datos (xi , yi ), i = 1, . . . , m
y (x) = a1 φ1 (x) + a2 φ2 (x) + · · · + an φn (x) lineal en las ai...