Macario

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES CUADRATIAS ON UNA INOGNITA
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de laecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o  conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad. 
Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:
5x - 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dosincógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = ð15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x - 7 =x + 1 es equivalente a 2x - 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.
¿qué es una Ecuacion cuadrática con una incógnita?
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones. 
Podemos encontrar distintostipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…
Resolución De Ecuaciones
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía es más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de unapropiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.
4x - 7 + 7 = 1 + 7 (por eso se dice que un numero que está restando "pasa" sumando).
4x = 1 + 7 
4x = 8
4x : 4 = 8 : 4 (por eso se dice que un numero que está multiplicando "pasa" dividiendo)
Tiene una única solución: x = 2.
Sinembargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
No existe una única forma de escribir la ecuación cuadrática.
La forma canónica: f(x) = a (x - vx)2 + vy [donde (-vx ; vy) es la coordenada del vértice de la parábola]
La expresión polinómica f(x) =ax2 + bx + c representan diferentes formas de expresar la misma función. Veamos como se pasa de una a otra.
Partamos de una ecuación polinómica:
f(x) = ax2 + bx + c Factoricemos a, para ello multiplicamos y dividimos toda la expresión por a.

Necesitamos que nos quede una sola x para ello fabricaremos un trinomio cuadrado perfecto. Recordar el tercer caso de factoreo: [pic]
Tomemos "[pic]
"(donde está x ) ¿Cómo encontramos el término faltante? igualemos los términos lineales (los que no están elevados al cuadrado) 2 x y = [pic]
x . Buscamos "y", entonces despejémosla: y = [pic]
. Observa que y en el trinomio está elevada al cuadrado, por lo tanto debemos sumar
para obtener [pic]

. Pero para mantener la igualdad si sumo debo restar:
[pic]
distribuyamos a y operamosmatemáticamente para que quede: [pic]
(que es la ecuación canónica)
Si tomamos esta ecuación y la igualamos a cero podemos desarrollar una fórmula que permita, directamente de la polinómica, hallar los ceros de la función (raíces) [pic]
Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x + 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = 3, se resuelve así:
[pic]
Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x....