maestro

Arsac, G y otros, INICIACIÓN AL PENSAMIENTO DEDUCTIVO, Presses
Universitaires de Lyon, 1992
PRIMERA PARTE
Las experimentaciones en clase y sus análisis
Capítulo 1
PROBLEMÁTICA
¿Cómo abordar el problema?
Al abordar este problema nos fue necesario, en principio, clarificar nuestras
concepciones de la demostración y del aprendizaje. Son estas las concepciones
que vamos a explicitar ahora:1.- Nuestra concepción de la demostración.
1.1.- Explicación, prueba, demostración, razonamiento.
Nuestra concepción de la demostración está directamente vinculada con los
trabajos de Nicolás Balacheff que distingue las explicaciones, las pruebas y las
demostraciones (Balacheff, 1992).
Llamaremos “explicación” a todo discurso sostenido por una persona o un
grupo, cuyo objetivo es el decomunicar a otro el carácter de verdad de un
enunciado matemático.
Las pruebas son explicaciones aceptadas por otros en un momento dado. Así,
una explicación puede tener el status de prueba para un grupo social dado, pero no
para otro.
Las demostraciones son pruebas particulares que poseen las características
siguientes:
• Una característica social: son las únicas pruebas aceptadas por lacomunidad de los matemáticos.
• Una característica sobre la forma: respetan algunas reglas. Un cierto
número de enunciados son considerados como verdaderos (axiomas), otros son
deducidos de éstos o de enunciados precedentemente demostrados a partir de
reglas de deducciones tomadas de un conjunto de reglas lógicas.
• Los objetos matemáticos sobre los que estas pruebas operan tienen un
statusteórico. No pertenecen al mundo sensible, aunque evidentemente hagan
referencia a él. Este problema de la naturaleza de los objetos matemáticos, sobre el
que no se trata de mantener con los alumnos de los colegios un discurso teórico,
trae dificultades de enseñanza bien conocidas, en particular en geometría. En este
caso un estudio más profundo se propone en el capitulo VIII.
Las distincionesrelativas a las pruebas pueden ser esquematizadas de la
siguiente manera:
Explicaciones:
•Pruebas: Explicaciones aceptadas por un
grupo social.
Explicación
•Demostraciones:Pruebas aceptadas por
los matemáticos.
Prueba

Demostración

1

1.2.- Por qué querer demostrar?
Nos unimos al análisis de nuestros colegas del I.R.E.M. de Poitiers, (Poitiers
1998) que distinguen dos funciones de lademostración:
• Demostrar para convencer: Proponer una argumentación que el locutor
no puede discutir. Se trata en este caso de responder a la pregunta:
¿Es verdad?
• Demostrar para comprender: Aquí se trata de responder a la pregunta:
¿Por qué es verdad?
Ejemplos:
1. Los triángulos ABI y AIC: ¿tienen la misma área?

A

B

C
I

En este ejemplo hay una incertidumbre para la mayoríade los alumnos en
cuanto a los resultados, la demostración es entonces para convencerse o convencer
a los demás de la validez del resultado.
2.- ABCD y CDEF
paralelas?

son dos paralelogramos. Las rectas AB y BF: ¿son

A

D

B

C
E

F

En este ejemplo, para la mayoría de los alumnos no hay incertidumbre en
cuanto al resultado. La demostración en este caso sirve para comprenderen un
sentido matemático. Es decir para establecer un lazo entre estas evidencias y las
propiedades de geometría conocidas por el alumno.
Notemos que esta distinción depende de las personas. Algunos resultados
pueden parecer evidentes para algunos y no para otros, lo que significa que una
demostración que tendrá por efecto convencer a algunos aparecerá para otros
como una herramienta paracomprender.
Nuestro grupo se interesó más que en la primera función de la demostración:
demostrar para convencer. Esta elección se inscribe lógicamente en el trabajo
que hemos llevado en el marco de la práctica del problema abierto. (Arzac y otros,
1988). Por otra parte, esta aproximación nos parece más accesible para alumnos de
6° y 5°1. Pero nos parece que solamente a partir de la clase de...