MAGO DE OZ

NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos expresan la suma entre un número real y un número imaginario. Un número real es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a √-1el nombre de i (de “imaginario”).

De esta forma, los números complejos se usan en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Gracias a su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, son utilizados con frecuencia por la electrónica y las telecomunicaciones.
El cuerpo de los números reales está formado por pares ordenados (a, b). Elprimer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).
Los números complejos forman el cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales (R) aparece como un subcuerpode C. Por otra parte, C forma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no pueden ser ordenados, a diferencia de los números reales.


Operaciones con números complejos
Suma. Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:


Resta. Al igualque en la suma, se opera como con los números reales ordinarios.

Multiplicación. Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos:


División. La división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejopor su conjugado da como resultado un número real:

si la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:




Potencia. Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables. Se debe tener en cuenta la igualdad:










EJEMPLOS.VECTORES
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector,pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores,que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectoresunitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado.
Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado.
Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o...