mani

Momentos y Funciones Generatrices
El estudio de las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias, es esencialmente
el estudio de algunas caracter´
ısticas num´ricas asociadas con ellas. Estos as´ llamados
e
ı
par´metros de la distribuci´n juegan un papel fundamental en la estad´
a
o
ıstica matem´tica.
a

3.1

Momentos de una Funci´n de Distribuci´n
o
o

Definici´n 3.1.1Sea X una variable aleatoria. El valor esperado (o media o esperanza
o
matem´tica) de X, denotada por E(X) o E X o µ, se define como:
a
(a) Si X es una variable aleatoria discreta con funci´n de masa de probabilidad pk =
o
P {X = xk },

∞

xk pk

E(X) =
k=1

si esta serie existe y es finita.
(b) Si X es una variable aleatoria continua con funci´n de densidad f ,
o
∞

E(X) =

xf (x) d x
−∞

si esta integral existe y es finita.
Observaci´n 1. E(X) existe unicamente cuando la serie o la integral en cuesti´n es
o
´
o
∞

∞

absolutamente convergente, esto es si,

|x|f (x) d x existe ´
o
−∞

157

|xk |pk existe.
k=1

158
Si el espacio muestral es finito, la serie es una suma finita, en cuyo caso E(X) siempre
existe.
∞

∞

Si la serie

xk pkconverge pero, la serie
k=1

|xk |pk diverge, decimos en este caso que
k=1

∞

E(X) no existe. De la misma manera si la integral

xf (x) d x converge pero, la
−∞

∞

integral

|x|f (x) d x diverge, decimos que E(X) no existe.
−∞

Ejemplo 3.1.1 (i) Sea X una variable aleatoria discreta con funci´n de masa de probo
abilidad dada por
pk = P

X = (−1)k+1

3k
k

=

2
,
3kk = 1, 2, . . .

entonces
∞

∞

|xk |pk =
k=1

k=1

2
=∞
k

∞

2
converga.
k
k=1
(ii) Sea X una variable aleatoria continua con funci´n de densidad dada por
o
(−1)k+1

y E(X) no existe, aunque la serie

f (x) =

1
,
π(1 + x2 )

−∞ < x < ∞

entonces
∞

∞

x f (x) dx =
0
0

0
0

x f (x) dx =
−∞

−∞

x
1
dx =
Ln(1 + x2 )
2)
π(1 + x
2π
1x
dx =
Ln(1 + x2 )
π(1 + x2 )
2π

∞

=∞
0
0

= −∞
−∞

por lo tanto E(X) no existe, aunque
∞

a

x f (x) dx = lim
−∞

a→∞

−a

x
dx
π(1 + x2 )

1
lim Ln(1 + x2 )
=
2π a→∞

a

=0
−a

159
Ejemplo 3.1.2 Sea X una variable aleatoria discreta con funci´n de masa de probao
bilidad


 n k


p (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n
k
pk = P {X = k} =

0
en otro caso

entonces
n

E(X) =

k
k=0
n

=
k=0
n

=
k=1

n k
p (1 − p)n−k
k

n!
pk (1 − p)n−k
k!(n − k)!
n!
pk (1 − p)n−k
(k − 1)!(n − k)!

hagamos j = k − 1 ⇒ k = j + 1, luego
n−1

E(X) =
j=0

n(n − 1)!
p pj (1 − p)n−1−j
j!(n − 1 − j)!
n

= np
j=0

n−1 j
p (1 − p)n−1−j
j

= np(p + (1 − p))n−1 = np.
Ejemplo 3.1.3 Sea X una variable aleatoriacontinua con funci´n de densidad
o

 1


si a < x < b
f (x) = b − a


0
en otro caso
luego
∞

E(X) =

x f (x) dx
−∞

b

b
x
1
dx =
x dx
b−a a
a b−a
1
1
1 2
(b − a2 ) = (a + b)
b−a 2
2

160
Definici´n 3.1.2 Sea X una variable aleatoria continua con funci´n de densidad de
o
o
probabilidad f , entonces el valor esperado de la variable aleatoria g(X),donde g es una
funci´n integrable respecto a la funci´n de densidad de X est´ definido por
o
o
a
∞

E(g(X)) =

g(x) f (x) dx
−∞

si
∞

|g(x)|f (x) dx < ∞
−∞

Si X es una variable aleatoria discreta, entonces
∞

E(g(X)) =

g(xk ) pk
k=1

donde pk es la funci´n de masa de probabilidad de X, si
o
∞

|g(xk )| pk < ∞.
k=1

Los dos teoremas que siguen son importantes y susdemostraciones se dejan como
ejercicios.
Teorema 3.1.1 Sea X una variable aleatoria, entonces
(a) Si X es una variable aleatoria con funci´n de densidad f , E(X) existe si y solo si
o
∞

0

x f (x) dx

y

0

x f (x) dx
−∞

existen (son finitas).
o
(b) Si X es una variable aleatoria con funci´n de masa de probabilidad pk , E(X) existe
si y solo si
xk pk
xk ≥0

existen (son...