manual de vibraciones
Páginas: 10 (2424 palabras)
Publicado: 3 de diciembre de 2013
6.5 VIBRACIONES FORZADAS
OBJETIVOS:
Después de finalizada esta unidad el alumno será capaz de:
Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento
Resolver ejercicios y problemas de vibraciones forzadas
Comprender el efecto de resonancia
INTRODUCCIÓN:
Hemos visto que la energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido ala fuerza disipativa.
Es posible compensar la pérdida de energía aplicando una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema.
En cualquier instante, se puede agregar energía al sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.
Por ejemplo un niño, en un columpio puede mantenerse e movimiento por medio de impulsos sincronizados de maneraapropiada.
La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energía que pierde por la fricción.
Existen varios tipos de vibraciones forzadas, destacando las siguientes:
(a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Aquellas vibraciones en las cuales no existe amortiguamiento de ningún tipo pero son producidas porfuerzas externas.
(b)Vibraciones forzadas con amortiguamiento. Aquellas vibraciones producidas o fuerzas externas y en el cual existe amortiguamiento por ejemplo viscoso.
VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO:
Fuerza armónica de excitación.
Consideremos una partícula de masa m unida a un resorte ideal de rigidez k y a la cual se aplica una fuerza externa F = Fo Sen(t) tal como semuestra en la figura. Donde Fo es la amplitud de la vibración armónica y es la frecuencia de la vibración externa.
Aplicando las segunda ley de Newton se tiene:
La ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por: i) una solución complementaria; y ii) una solución particular.
La solución complementaria sedetermina haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación y resolviendo la ecuación homogénea, es decir.
La solución de esta ecuación es de la forma:
Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma
Determinando dos veces esta ecuación y remplazando en la ecuación (1) se tiene
Despejando el valor de la constante B resulta
Remplazando (5) en (4)resulta
La solución general será
De la ecuación (7) se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ωn figura a, y una vibración forzada causada por la fuerza exterior figura b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura c.
Factor deamplificación
En la ecuación (6) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre las frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplificación al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática.
De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales esto es /n=1 . El fenómeno de resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.
Desplazamiento excitador periódico
Las vibraciones forzadas también pueden surgir a parir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado en la figura, representa la vibración periódica deun bloque que es originada por el movimiento armónico δ = δ0senωt.
En la figura, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto el desplazamiento general del resorte será (x –δ0senωt)
Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección...
OBJETIVOS:
Después de finalizada esta unidad el alumno será capaz de:
Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento
Resolver ejercicios y problemas de vibraciones forzadas
Comprender el efecto de resonancia
INTRODUCCIÓN:
Hemos visto que la energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido ala fuerza disipativa.
Es posible compensar la pérdida de energía aplicando una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema.
En cualquier instante, se puede agregar energía al sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.
Por ejemplo un niño, en un columpio puede mantenerse e movimiento por medio de impulsos sincronizados de maneraapropiada.
La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energía que pierde por la fricción.
Existen varios tipos de vibraciones forzadas, destacando las siguientes:
(a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Aquellas vibraciones en las cuales no existe amortiguamiento de ningún tipo pero son producidas porfuerzas externas.
(b)Vibraciones forzadas con amortiguamiento. Aquellas vibraciones producidas o fuerzas externas y en el cual existe amortiguamiento por ejemplo viscoso.
VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO:
Fuerza armónica de excitación.
Consideremos una partícula de masa m unida a un resorte ideal de rigidez k y a la cual se aplica una fuerza externa F = Fo Sen(t) tal como semuestra en la figura. Donde Fo es la amplitud de la vibración armónica y es la frecuencia de la vibración externa.
Aplicando las segunda ley de Newton se tiene:
La ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por: i) una solución complementaria; y ii) una solución particular.
La solución complementaria sedetermina haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación y resolviendo la ecuación homogénea, es decir.
La solución de esta ecuación es de la forma:
Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma
Determinando dos veces esta ecuación y remplazando en la ecuación (1) se tiene
Despejando el valor de la constante B resulta
Remplazando (5) en (4)resulta
La solución general será
De la ecuación (7) se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ωn figura a, y una vibración forzada causada por la fuerza exterior figura b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura c.
Factor deamplificación
En la ecuación (6) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre las frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplificación al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática.
De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales esto es /n=1 . El fenómeno de resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.
Desplazamiento excitador periódico
Las vibraciones forzadas también pueden surgir a parir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado en la figura, representa la vibración periódica deun bloque que es originada por el movimiento armónico δ = δ0senωt.
En la figura, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto el desplazamiento general del resorte será (x –δ0senωt)
Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección...
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