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MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Variables Aleatorias
Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias
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c 2004 gonzaleof@unican.es 8 de Junio de 2004

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Variable AleatoriaDiscreta 1.1. Funci´n de Probabilidad o 1.2. Funci´n de Distribuci´n o o 1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria 1.4. Varianza y desviaci´n t´ o ıpica de una variable aleatoria 1.5. Ejercicios 2. La Distribuci´n Binomial o • Experiencias binomiales • N´meros combinatorios u 2.1. Distribuci´n Binomial o 2.2. Ejercicios 3. Variable Aleatoria Continua 3.1. Funci´n de Distribuci´n o o 4. LaDistribuci´n Normal o 4.1. La normal N (0; 1) • Manejo de la tabla • Tipificar una variable normal 4.2. Ejercicios 5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal o o 5.1. Ejercicios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

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Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o

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r=A+lu A

1. Variable Aleatoria Discreta Definici´n 1.1 Una variable aleatoria discreta X es una funci´n que asigna o o valores num´ricos a los sucesos elementales de un espacio muestral e X : Ω ωi −→ −→ R xi

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X :

Ω CC CX XC XX

−→ → → → →

R 2 1 1 0

Ejemplo 1.2. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y si sacamoscruz X pagamos 1 euro. ¿ C´mo es la variable aleatoria X que o mide la ganancia?. El espacio muestral es Ω = {C, X} entonces se tiene X : Ω C X −→ → → R 1 −1

Tabla N(0,1)

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Variables Aleatorias

Ejemplo 1.1. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz, como u el espacio muestral es Ω ={CC, CX, XC, XX} entonces se tiene

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Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o

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r=A+lu A

1.1. Funci´n de Probabilidad o Definici´n 1.2 Es la aplicaci´n que asigna a cada valor de la variable aleatoo o ria discreta X la probabilidad de que la variable tome dicho valor px : X xi −→ [0, 1] −→ P (X = xi )

d B s=B+mv

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Ejemplo 1.3. Lanzamosdos monedas y definimos la variable aleatoria X, n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz. La u funci´n de probabilidad de X es o 1 px (2) = P (X = 2) = P (“CC ) = 4 2 px (1) = P (X = 1) = P (“CX, XC ) = 4 1 px (0) = P (X = 0) = P (“XX ) = 4 o Es habitual expresar la funci´n de probabilidad en una tabla de la forma xi 0 1 2 px (xi ) Observa que se tiene que cumplir
nMaTEX Variables Aleatorias
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1 4

2 4

1 4

px (xi ) = 1
i=1

(1)

Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o

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r=A+lu A

Ejemplo 1.4. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y si sacamos crus X pagamos 1 euro. Describir la funci´n de probabilidad de o la variable aleatoria X que mide la ganancia. xi1 −1 px (xi ) 1/2 1/2

d B s=B+mv

SOCIALES

px (xi )

0.08

0.32

0.05

a

0.32

Hallar el valor de a, P (X = 1), P (X ≥ 1) y P (X ≤ −1). Soluci´n: o
n

• Como
i=1

px (xi ) = 1 ⇒ 0.08 + 0.32 + 0.05 + a + 0.32 = 1; a = 0.23

• P (X = 1) = px (1) = a = 0.23 • P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.23 + 0.32 = 0.55 • P (X ≤ −1) = P (X = −2) + P (X = −1) = 0.08 + 0.32 = 0.4Tabla N(0,1)

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Variables Aleatorias

Ejemplo 1.5. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene o dada por la tabla. xi −2 −1 0 1 2

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r=A+lu A

1.2. Funci´n de Distribuci´n o o Definici´n 1.3 Es la aplicaci´n FX (xi ) que asigna a cada valor xi de la o o variable...