Mapa Comparativo

Unidad 3. Progresiones

• Progresiones aritméticas
Antes de empezar…
Es muy divertido construir figuras geométricas con estas pequeñas piezas imantadas.

Construimos así más y más triángulos, que forman esta sucesión: 1, 4, 7, 10, 13,...

¿Qué tiene de particular esta sucesión? Cada término de esta sucesión se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior. Las sucesiones de estetipo reciben el nombre de progresiones aritméticas.

Antes de continuar vamos a ver otros casos:

Actividad 15 Diseñando un paseo
Para embellecer un paseo recto, se coloca, a lo largo de su línea central, una fila de jardineras hexagonales, rodeadas de baldosas de la misma forma. Se desea saber el número de baldosas necesarias para colocar una hilera de 20 jardineras. ¿Cuántas baldosas senecesitan para n jardineras?

Observa que para la primera jardinera se necesitan 6 baldosas y para cada una de las siguientes 4 más que para la anterior.

Esperanza Gesteira

Unidad 3. Progresiones

Actividad 16 Castillos de naipes
Sobre el suelo de una habitación se quiere construir un castillo de naipes de 15 alturas. ¿Cuántos naipes hay en el piso bajo? ¿Y en el piso bajo de uncastillo de n pisos?

Observa que para el primer piso hacen falta dos naipes, para el segundo piso 5 naipes y para cada piso tres naipes más que para el piso anterior.

•

Término general de una progresión aritmética.

Si escribimos las sucesiones correspondientes a: el número de baldosas para una jardinera para dos, para tres … el número de naipes del piso bajo de un castillo de un piso, de dospisos, de tres pisos,… Nos daremos cuenta que en ellas, cada término se encuentra sumando una cantidad fija al número anterior (4 en el primer caso y 3 en el segundo, y en el primer ejemplo de los triángulos es 3). Las tres son progresiones geométricas:

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija (positiva o negativa) al términoanterior. A esa cantidad fija se le llama diferencia “d“de la progresión. Si d es positiva la progresión es creciente, si d es negativa, la progresión es decreciente.

Esperanza Gesteira

Unidad 3. Progresiones

Es muy sencillo obtener el término general de una progresión aritmética:

1. Empezamos con el primer término:

a1= a1
2. Para obtener el segundo término, Sumamos d al primero:a2= a1 + d

3. Para obtener el tercer término, Sumamos d al segundo: a3= a2 +d = a1 + d+ d= a1 + 2d 4. Para obtener el cuarto término, Sumamos d al tercero: a4= a3 +d = a1 + 2d+ d= a1 + 3d 5. Para obtener el quinto término, Sumamos d al cuarto: a5= a4 +d = a1 + 3d+ d= a1 + 4d
6. 7.

… Luego, el término general será:

an= a1 +(n-1)—d

En el primer ejemplo, si quiero obtener el término 15deberé dar 14 pasos y en cada paso sumo 4 baldosas. En general: an= a1 +(n-1) — d Ya que para pasar de a1 a an, damos n-1 pasos de amplitud d. Si queremos calcular el término general a partir de un término cualquiera de la sucesión, no del primero, basta con darse cuenta de que desde el término k que conocemos hasta el término general n damos n-k paso de amplitud d y por tanto:

an= ak + (n-k) —dFIJATE!! En ambos casos es necesario conocer el valor de la diferencia d.

Esperanza Gesteira

Unidad 3. Progresiones

Actividad 17 Ejercicio sencillo
Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) 8, 13, 18, 23,… b) -20,-15,-10,… c) -1/2, 1,3/2, 2,5/2,… d) 7’7, 6’6,5’5,

Actividad 18 Para practicar…
Forma una progresión aritmética de ocho términos conlos datos de cada apartado:

a) a1 = 6,

d =-2

b) a1 = 1/2, d =4 c) a1 = 2/3, d =-1/2 d) a1 = m, d =m/4

Escribe en tu cuaderno las operaciones que has efectuado para hallar los términos correspondientes a cada sucesión.

Esperanza Gesteira

Unidad 3. Progresiones

Actividad 19 Sucesiones en las casas
Asigna la etiqueta adecuada a cada fila de casas según sean o no progresiones...