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Despejando, dy
y = −(sen x) dx e, integrando, log y = cos x + C, es decir, y = ecos x+C.
Sin m´as que tomar K = eC encontramos las soluciones y = Kecos x. Fijarse que, en
principio, parece que K tiene que ser positiva; pero en realidad la integral de dy
y es log |y|,
lo que nos llevar´ıa a soluciones con valores negativos de K. Por ´ultimo, notar y = 0 (es
decir, tomar K = 0) tambi´en esclaramente una soluci´on de la E. D., aunque no se obtiene
con el m´etodo seguido. As´ı pues, la soluci´on general de la E. D. es de la forma y = Kecos x
con K ∈ R.
E. D. expl´ıcitas de primer orden 7
APARTADO 2.
Ecuaci´on de la forma y′ = f(ax + by).
Si a = 0 o b = 0, la ecuaci´on es separable. En otro caso, efectuemos el cambio de
funci´on y(x) por z(x) dado por z = ax+by, de donde z′ =a+by′ y, por tanto, y′ = z′
−a
b .
Entonces, sustituyendo en la E. D. obtenemos z′
−a
b = f(z), es decir, z′ = a + bf(z), que
es de variables separadas. La escribimos como
dx =
dz
a + bf(z)
,
con lo que, integrando, x =
R
(a + bf(z))−1 dz = (z,C). As´ı pues, las soluciones de la
E. D. de partida ser´an
x = (ax + by,C),
de modo que hemos encontrado y como funci´on de x expresada enforma impl´ıcita.
RECETA 2. Ecuaci´on de la forma y′ = f(ax + by).
El cambio de funci´on y(x) por z(x) dado por z = ax + by la
transforma en una de variables separadas.
Ejemplo 2. Resolver
y′ − exey = −1.
Tenemos y′ + 1 = ex+y, con lo que si efectuamos el cambio de funci´on dado por la
sustituci´on z = x + y, la ecuaci´on queda transformada en z′ = ez, es decir, dx = e−z dz,
ecuaci´on envariables separadas cuya soluci´on es x = −e−z + C. Volviendo a las variables
iniciales, C − x = e−x−y, de donde log(C − x) = −x − y, y por tanto la soluci´on de la
E. D. de partida es y = −log(C −x)−x. (Observar que no nos hemos preocupado —ni lo
haremos de aqu´ı en adelante— de poner m´odulos cuando al calcular una integral aparece
un logaritmo. El lector podr´ıa analizar estos casos con muchom´as cuidado.)
APARTADO 3.
Homog´eneas.
Supongamos que tenemos la ecuaci´on
y′ = f
y
x

.
8 M´etodos cl´asicos de resoluci´on de E. D. O.
Para resolverla, hacemos el cambio de funci´on y(x) por u(x) mediante u = y
x . As´ı, derivando
y = ux tenemos y′ = u′x + u, es decir, u′x + u = f(u). Esta ecuaci´on, que podemos poner
como u′x = f(u) − u, es de variables separadas. Vamos asolucionarla:
• Si f(u) 6= u, podemos escribir du
f(u)−u = dx
x e, integrando,
R du
f(u)−u = log( x
C ).
Despejando x obtenemos x = Ce(u) con (u) =
R du
f(u)−u . Por tanto, las curvas con
ecuaciones param´etricas (
x = Ce(u)
y = Cue(u)
son soluci´on de la ecuaci´on diferencial para cada C ∈ R. (Esto constituye una familia
de curvas homot´eticas: una curva se obtiene de otra medianteuna homotecia, es decir,
multiplicando los valores de x e y por una constante.) A veces, es conveniente expresar
estas soluciones de otras formas. Siempre puede ponerse x = Ce(y/x), soluci´on dada
mediante una funci´on impl´ıcita. Y, cuando en x = Ce(u) se logra despejar de alguna
forma u = H(x,C), la soluci´on de la E. D. queda mucho m´as sencilla: y = xH(x,C).
• Supongamos ahora que existealg´un u0 tal que f(u0) = u0. En este caso, es inmediato
comprobar que la recta y = u0x es soluci´on: y′ = u0 = f(u0) = f( y
x ), luego se satisface
la ecuaci´on diferencial. Este tipo de soluciones que no se obtienen con el procedimiento
general suelen denominarse soluciones singulares.
Nota: En general, una funci´on h(x, y) se dice homog´enea de grado si h(x, y) =
 h(x, y). Esinmediato comprobar que una E. D. de la forma
P(x, y) dx+ Q(x, y) dy = 0
con P(x, y) y Q(x, y) funciones homog´eneas del mismo grado es, efectivamente, una
ecuaci´on diferencial homog´enea (despejar y′ = dy
dx = −P(x,y)
Q(x,y) = −P(x,x(y/x))
Q(x,x(y/x)) y extraer
 = x de P y Q). De aqu´ı proviene el nombre de este tipo de ecuaciones.
RECETA 3. Homog´eneas.
Son de la forma
y′ = f
y
x
...
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