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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR
SEDE ESMERALDAS

INGENIERIA EN SISTEMAS Y COMPUTACION

INFORME DE INVESTIGACION

CURVATURA, RADIO DE CURVATURA Y SU DERIVADA

CALCULO DIFERENCIAL

MARCO ANTONIO CEDEÑO ZAMBRANO

LIC. GUSTAVO GUACHAMIN

ENERO DEL 2011

AGRADECIMIENTO

Al Ser supremo Dios por concedernos sabiduría einteligencia para realizar con éxito este trabajo de investigación.

A nuestros padres, valiosas personas que con su apoyo moral y material, desinteresadamente han sido el pilar fundamental para el desarrollo de este proyecto.

A nuestro queridos profesores que conforman la Escuela de Sistemas que con su esmero y dedicación ha hecho posible que nuestro tema culmine con excito.A la, Pontificia Universidad Católica Del Ecuador Sede Esmeraldas
nuestra segunda familia, por abrir sus puertas y darnos la oportunidad de educarnos y formarnos como ente positivo de la sociedad.

TÍTULO:
Curvatura, radio de curvatura y su derivada

AUTOR:
Marco Antonio Cedeño Zambrano.

RESUMEN:
El tema curvatura se lo puede definir como desviación contínua respecto de lalínea recta que se aparta de la dirección recta sin formar ángulos. Esto quiere decir que su dirección varía de manera paulatina y constante.
Este es un problema menor cuando la superficie de proyección de imagen es esférica (no plana como antes), como es el caso del ojo humano. La mayoría de los objetivos fotográficos están diseñados para minimizar la curvatura de campo, y así efectivamente teneruna longitud focal que aumenta con el ángulo de los rayos.
El objetivo principal de la investigación es demostrar la longitud entre cuerdas de radios de curvaturas además analizar la ecuación de curva en un plano en un punto o en puntos desplazables


INTRODUCCIÓN

Se adapta la teoría clásica del triedro de Frenet al caso de una curva plana y se calcula
Explícitamente la curvatura de lacurva plana en cartesianas, y = f(x), comprobando
que tanto su interpretación como la fórmula de cálculo obtenida coincide con la de
Newton.
Newton basa su dentición y cálculo de la curvatura de una curva plana en cartesianas
en las siguientes afirmaciones:
• Un círculo tiene curvatura constante que es inversamente proporcional a su
radio.
• El “círculo más grande” que es tangente a la curva(por su lado cóncavo) en un punto tiene la misma curvatura que la curva en el punto.
Newton deñe el centro de este círculo como el punto de intersección de las rectas
normales a la curva en puntos de ella arbitrariamente próximos. Ello le permite calcular
el centro y el radio del círculo y por tanto el centro y el radio de curvatura de la curva.
Veremos que el “círculo más grande” de Newtones el círculo osculador.
2. Curvatura de una curva plana en coordenadas cartesianas
Consideremos una curva plana en coordenadas cartesianas parametrizada por su
longitud de arcos

El vector tangente unitario a la curva en un punto genérico P es

Intuitivamente podemos imaginar que la curvatura de la curva mide la variación de
su vector tangente en su traslado a lo largo de ella, lo queconduce a las siguientes
definiciones:
Se llama vector de curvatura en P al vector

Se define la curvatura κ en el punto P como el módulo del vector de curvatura en P .
Demostremos que el vector de curvatura es ortogonal al vector tangente:
Com es unitario, derivando en la expresión se obtiene

es decir ambos vectores son ortogonales.
Se deduce que siendo N el vector normalunitario en P .

Por tanto, el centro de curvatura de la curva en P es el punto C situado sobre la
normal en P a una distancia
1/κ de P , esto es

Además, el círculo de centro C y radio
1/κ está contenido en plano osculador π de la curva, que es el plano que pasa por tres puntos próximos de la curva cuando dos de ellos tienden a confundirse con el tercero (P en este caso), esto es

Así pues,...
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